浅谈数学理解与模型思想

浅谈数学理解与模型思想

黄伯军

四川省德阳外国语学校小学部，四川 德阳 618000

【摘要】在数学教学实践中，常常有“过程”与“结果”孰重孰轻之争，数学理解与模型思想二者之间大概也有这种争议存在。现实教学中，很多数学教师过于重数学理解而轻模型思想了。这里，笔者试举两个例子来表明自己的观点：数学理解先于模型，但数学教育的终极目标，还是要指向创造更先进的数学工具，并让先进工具得到应用。理解的过程相当于给学生的思维搭建了一个“脚手架”，我们用脚手架建一座楼，当这座楼建立之后，脚手架就应该拆掉，因为从脚手架上楼比从楼梯（或是电梯）上梯显然困难多了！

【关键词】数学理解，模型思想

在数学教学中，我们非常关注“理解”。一说到学习，我们就要求一定要在理解的基础上掌握和应用，数学教学尤其如此。在《小学数学课程标准（2011年版）》（下称《标准》）中把数学教学的结果目标用“了解，理解，掌握，运用”这四个词进行了表述，足见“数学理解”的重要性。在数学素养方面，《课标》在课程内容这一部分进行了描述，我们可以看到，在数感、符号意识、几何直观、运算能力、模型思想这些核心素养对增进数学理解的作用，由此可见数学理解的作用。本文不打算继续证明数学理解的重要性，反而想给数学理解降降温，并就此求教于各位读者。

我们都知道，《课标》中对传统的“双基”进行了扩充，增加了“基本思想”和“基本活动经验”而变为“四基”。史宁中教授在《义务教育数学课程标准（2011年版）解读》中更加强调数学“基本思想”对于人的发展的重要性，他说：“思想的感悟和经验的积累是一种隐性的东西，但恰恰就是这种隐性的东西在很大程度上影响人的思想方法，因此，对学生，特别是对那些未来不从事数学工作的学生的重要性是不言而喻的，这是学生数学素养的集中体现，也是‘育人为本’教育理念在数学学科的具体体现。”在史宁中教授看来，数学基本思想包含抽象、推理和模型三个要素。本文将要讨论的是基本思想中的模型思想。《标准》中表述了建立和求解模型的过程：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。需要引起注意的是，“所有数学的形式，诸如函数、方程等，本身并不是数学模型，而是可以用来构建模型的数学语言。”在《数学基本思想18讲》中，史宁中教授对数学模型与数学语言进行了区别，但他并不否认这些数学语言对学生形成“模型思想”的作用。所以，在义务教育阶段，我们不会涉及真正的数学模型，但通过数学学习，帮助学生形成初步的模型思想却是极其重要的。

那么，笔者为什么要讨论“数学理解”与“模型思想”这两个看起来没什么关系的东西呢？是因为我看到现实教学中，很多数学教师太重数学理解而轻模型思想了。这里，笔者试举两个例子来说明表明自己的观点：数学理解先于模型，但数学教育的终极目标，还是要指向创造更先进的数学工具，并让先进工具得到应用。理解的过程相当建立给学生的思维搭建了一个“脚手架”，我们用脚手架建一座楼，当这座楼建立之后，脚手架就应该拆掉，因为从脚手架上楼比从楼梯（或是电梯）上梯显然困难多了！

例：部编版小学数学第十册“分数与除法”例3的教学讨论

如上图，本例的呈现中，分析与解答的左边可以看作“数学理解”，右边可以看作“模型思想”（当然不是史教授所理解的真正的“数学模型”）。笔者认为，编者的意图是通过数学理解，根据“分数的意义”——把10只看作一个整体，平均分成10份，每份是一只，7只就是这个整体的 ——解决问题，得到“鹅的只数是鸭的 。”，以此证明答案的正确性。再根据分数与除法的关系，建立“求7只是10只的几分之几，可以用7÷10”这样的数学联系，可看作文本模型与数学表达模型之间的联系。在实际教学中，常常被概括为：“求a是b的几分之几？”列式是“a÷b”。

但我们常常看到一些老师把左右两边当作了并列关系，认为这是两种不同的思路：一种是用分数的意义解决实际问题；另一种是用除法进行计算。有这种认识的老师，把左右两边当成因果关系，仿佛学生不能用分数的意义“讲”出答案就不能列式计算，常常强逼学生反复用分数的意义“讲”得出结论，学生苦不堪言。

笔者认为，左边的教学只需要达到理解，学生认可这种分析是确定无疑的即可。重点应该放在右边，让学生掌握“求a是b的几分之几？”列式是“a÷b”。这本质上就是模型思想。如《标准》所言：......有助于帮助学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。我们可以“人性化”地简单分析一下模型思想是如何“提高学习数学的兴趣和应用意识”的：模型思想解决问题时更简单，方法用起来更好用。所以，我们常常需要在建立模型之后，努力渲染其优越之处。

综上所述，笔者认为，数学理解很重要，但它不是数学教育的终极目标，而是一个过程目标。如果我们执著于这个过程性目标，那么很可能忘却数学的应用价值。

【参考文献】:《小学数学课程标准（2011年版）》《数学基本思想18讲》《小学数学课程标准（2011年版）解读》