椭圆周长 L = 4

椭圆周长 L = 4

李厚良

广西昊建工程咨询管理有限公司，南宁 530029

摘 要：圆和椭圆是有关联的，椭圆具有圆的某些特性，比如特殊角 利用圆的这种特性，把椭圆周长公式推导出来，这个特性就是，不论圆的半径R是多少，当把四分之一的圆弧拉直后，它所对应的夹角 不变，因为这个特性适用于椭圆，所以椭圆的周长公式L=4BC=4 就可以推导出来。

关键词：特性；特殊角；函数连续性；圆周长；椭圆周长；

_{中图分类号：}O1

0 引言

椭圆图形在长轴和短轴上对称，所以椭圆在每个象限的弧长是相等的，我们只要能够求出一个象限的椭圆长度，就可以求出整个椭圆的周长。

1 特殊角

以R为半径画一圆，如图一所示：

图一

取出这个圆的四分之一ABO，OA=OB=R, OA与OB夹角为90度直角，AB弧长为 ，把AB弧拉直，原来对应的90度直角变成了θ角，如图二所示：

图二

根据余弦定理得：

①

②

从②式可以看出，θ角与半径R的大小无关，无论圆的半径R是多少，θ角都是一个固定值 。因此，θ角是一个特殊角，圆具有的这种特性，椭圆是否也具有呢？也就是说，当把一个象限中椭圆弧拉直后，它所对应的角是否也是这个特殊角 只要椭圆也具有这种特性，那么就可以利用它导出椭圆的周长公式。

2 椭圆周长

设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，OA=OB=a, OC=OD=b, 以b为半径画一小圆，内切于椭圆，以a为半径画一大圆，外切于椭圆， OA与OB夹角为90度直角，如图三所示：

图三

把第二象限OCABDO的图形取出来，把AB弧拉直，OA和OB夹角由90度直角变成 ，如前面的证明，θ角与半径R的大小无关，所以，以短半轴b为半径的四分之一的圆弧也同时被拉直，CD//AB，假设椭圆的弧长BC也被拉直，如图四所示：

图四

从图三中可以看出它具有的一些性质，比如：OB≤BC≤AB，不同的圆，它们之间没有相交点，不同的椭圆，它们除了在长轴顶点处相交外，其他处并无相交，图四是从图三转变过来的，图三具有的性质，图四同样具有，当C在OA之间连续变化时，BC的长度也在BO与BA长度间连续变化，根据连续性得出，BC线应该是一条完整的线段，BC线夹在BO和AB两条直线之间，根据以上性质，所有椭圆的线除了在B点相交外，其余均不相交，所以BC必须是直线，经过以上推论，BC是一条连续的直线，所以之前的假设是正确的，这个特殊角的性质同样适合于椭圆。

根据余弦定理得：

BC= ③

因为BC是椭圆的四分之一弧长，所以椭圆周长L：

L=4BC=4 ④

3 结语

根据特殊角这个特性就可推导出椭圆的周长公式 ，只要把长半轴a和短半轴b的值代入公式④中，就可以求出椭圆的周长，不论a、b 取何值，L都有一个对应的值，当a=b=0时，L=0，周长等于零，它实际上就是一个点；当b=0时，L=4a，或a=0时，L=4b，它是两条重叠的直线；当b=a时， ，它就是以a半径的圆，所以公式④是一个通用的公式，它不仅适用于椭圆，同时还适用于一些特殊的情况，比如点、直线和圆等。

作者简介：李厚良（1962-），男，汉，山东单县人，高级工程师。