宁波镇海区龙赛中学 （315201）
无理函数的最值是中学数学教学的一个难点，其形式多样，解法繁杂，学生在解题中感到很困惑，本文就一类形如
的无理函数最值的解法作一次探求，寻求解决问题求解的多种策略，以便熟练和灵活地运用一些方法去解决问题，以达到举一反三的效果。
例题：求函数
的最值
一、巧用三角代换求函数最值
根据三角函数的特征和性质，在无理函数中巧妙的进行三角换元，使无理问题三角化，从而达到快速求解无理函数最值的目的，显然设元的技巧很关键。
1、 解：的定义域
，
，故可设
则
。
二、熟用平方判别式求函数最值
无理函数的最大特征是含有根号，而平方是去根号的重要手段之一，将无理函数转化为关于
的二次方程
的函数
，利用判别式求函数的最值是常见的方法，但要注意函数定义域对函数最值的制约作用。
解：函数的定义域，显然
两边平方得
移项再平方整理可得
由
得
又
，另外由
及
，
。
三、善用导数求函数最值
导数是高中数学新教材中增加的内容，用导数研究函数的性质尤其是函数最值问题上成为高中数学解题一道靓丽的风景线，要重视导数在解决一些比较复杂函数最值上的作用，善于运用它，体念它独特的解题魅力，能使问题得到简洁、完美的解决。
解 ：对原函数求导可得：
令
得
又
由此可得
，
四、妙用构造向量求函数最值
向量具有代数和几何的双重特性，用向量方法解决代数问题的关键是善于观察问题的外貌结构，挖掘代数结构的向量模型，巧妙构造向量，把原有的问题转化为向量问题求解。它是一种重要的数学思维方法，是数形结合思想的一个有效载体。
解：原函数变形为
可设
则得
令
与
的夹角为
， 
，
则
，
如图1，向量
的终点
在以原点为圆心，
为半径的
的圆周上，
则两向量夹角
，
当
，即
，
即
时，
当
，即
即
时，
， 本文对一类形如的无理函数的最值作了一次多角度，多层次的分析和探求，如果对它加以深入探究当然有更多类型的无理函数的最值值得我们去思考和研究。通过从特殊到一般的数学思维，寻求到解决问题的不同策略，对培养学生的创造性思维能力，完善学生的认知结构，提高学生的数学素养定有积极的作用。
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