多种思路解决导数中的以双变量为特征的极值点偏移问题

多种思路解决导数中的以双变量为特征的极值点偏移问题

马长勇

新疆生产建设兵团图木舒克市第一中学：844000

摘要：聚焦双变量特征和极值点偏移具体问题的解决，本文探讨了近年来考纲的基本要求，并从基础知识运用和解题思路拓展视角出发，围绕对称构造法、比值代换法、极值点伟达定理应用、平均对数不等式、放缩法和转化最值法等展开详细探讨，以期为相关问题的解决提供多思路的参考指引。

关键词：高考数学；极值点；函数；双变量

一、引言

近年来，随着新高考命题思路的转变，以双变量为主要特征的高考极值点偏移问题出现频次持续提升，大量相关题目以压轴题或者综合应用题的方式呈现，在全国各地的高考考卷中均有极为重要的命题地位。聚焦双变量特征和极值点偏移具体问题的解决，本文探讨了近年来考纲的基本要求，并从基础知识运用和解题思路拓展视角出发，围绕对称构造法、比值代换法、极值点伟达定理应用、平均对数不等式、放缩法和转化最值法等展开详细探讨，以期为相关问题的解决提供多思路的参考指引。

二、考试要求

从考试要求层面来看，笔者综合分析了全国各地关于双面两位特征及指点偏移问题的命题思路，在整合近年来考题命题规律的基础上，总结出了以下两大方面的考纲要求。

其一是要求学生深刻了解函数的单调性，在此基础上将函数单调性的推理证明、导数的求解与分析以及单调区间的计算测定的知识点融合运用，最终形成完整的解题思路，为极值点的计算和双变量知识点的运用提供基础条件。

其二，在解决单调性问题的基础上，考题通常会进一步探讨积极取得的必要条件、充分条件和或有条件等，也会要求考生结合导数、极值、画图等解题工具求解函数对象的极大值、极小值，并形成具体的公式结论。也有部分题目会在一定区间设定内，要求考生求解该区域内的函数最大值、最小值等。

三、基础知识与解题思路

本文重点介绍解题常用的对称化构造和比值待还两种方式，并就其他可用的解题方式作简单介绍。

(一)对称化构造法

在实际解题过程中，对于双变量题目，可以使用参变分离的方式消除参数，并通过乘积和加和等方式使。使得两边同取指数或者对数转换。例如，对于Ax1+x2＞M的类型，可以构造F(x)=f(x)-f(m-ax)的方式解决；而对于x1＞M的类型，可以构造F(x)=f(x)-f(m/xb)的方式加以解决。

例题：已知函数f(x)=ex−ax(a≠0)。

(1)讨论零点个数。

(2)若f(x)有两个零点x1和x2，且x1＜x2，证明x1+x2>2。

第一问中，两个零点的前提是a>e。这种方法的核心之一就是消去参数a，由f(x)=0可以构造g(x)=x/ex=1/a(还需要证明g(x)的单调性)

可证01<12，且2−x2<1，且有g(x1)=g(x2)

要证x1+x2>2，可证明，需要证明x1>2−x2，进一步证明g(x1)>g(2−x2)

利用g(x1)=g(x2)的关系，就变成证明g(x2)>g(2−x2)

所以构造函数h(x)=g(x)−g(2−x)，x>1

h′(x)=(x−1)(ex−2−e−x)>0，所以h(x)>h(1)=0，该题得证。

(二)比值代换法

对于非对称性函数而言，采用传统的对称化构造将会导致巨额的计算量，不符合精简高效处理问题的需求，此时尝试比值代换法是比较有效的解题思路。比值代换就是找一个新变量t去同时表达和x1和x2以达到消元的目的，差值代换法的逻辑比较类似，常用的是用t=x1−x2消元。

一般用比值代换解决。

例题：f(x)=x/ex，设m为实数，f(x)=m有两个解x1和x2，且x12，证明2x1+x2>e

解题时，考虑到f(x1)=f(x2)即x1/ex=x2/ex，

取对数变换得到lnx1/x2=x1−x2 ，得到代换t=x1/x2⊆(0，1)；进而得到x1=tx2，所以lnt=(t−1)x2，由此得出x1=t*lnt/(t−1)，x2=lnt/(t−1)

最终本题的证明转化为(2t+1)lnt/(t−1)>e，可调整为(2t+1)lnt−e(t−1)>0。

(三)基于极值点的韦达定理应用

不论是原题目中出现或是化简后出现一元二次方程x2−ax+1=0，均可以尝试采用韦达定理，其中x1x2=1是解题的要点所在。具体到解题应用方面，在很多情况下可以考虑消去参数a，例如尝试用x1+x2=a消去参数。

例题：己知函数f(x)=1/x-x+alnx。

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)存在两个极值点x1和x2，请证明(f(x1)-f(2))/(x1-x2)＜(a-2)

解第一题时，采用韦达定理，将f(x)定义域设置为(0,+∞)，进一步得到f’(x)=-1/x2-1+a/x=-(x2-ax+1)/x2。若a≤2,则f’(x)≤0，当且仅当a=2,x=时f’(x)=0，所以f(x)在(0,+00)的区间内单调递减；若a>2，令f’(x)=0可以得到

，进而当时，f’(x)>0，所以f(x)在内单调递减，在内单调递增。

解第二题时，可以根据第一题的结果证明该函数有2个极值点成立的前提是a＞2。由于f(x)的两个极值点x1和x2满足x2-ax+1=0，所以x1x2=1，进一步可以设x12，则x2>1.由于，得到等价于1/x2-x2+2lnx2＜0。此时设函数g(x)=1/x-x+2lnx,基于此前的运算可以得到g(x)在(0,+∞)区间内单调递减，进一步根据g(1)=0，可以得到当x属于(0,+∞)区间时，g(x)也相应小于0，可以得到，化简后可以得到

(四)对数平均不等式

双变量形式为<(a−b)/(lna−lnb)<(a+b)/2，单变量形式为2lnt≤t−1/t以及2(t−1)/(t+1)≤lnt。只要能构造出上述两种形式(单变量需要用比值代换构造)，就可以应用这一方法提升解题效率，但是在实际应用中需要注意的关键点是准确记忆并准确应用上述变量形式对应的公式，避免细微错误导致解题结果的偏离。

(五)放缩法

利用添减项、函数的有界性以及函数单调性等特质，结合函数画图的切割线等进行放缩。

(六)转化最值法

对于部分函数而言，如果出现含有“任意”“存在”等量词的问题，通常会将问题的解决转化为函数的最值，以此实现简化处理。

参考文献：

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[2]魏清泉,李静.多种思路解决导数中的以“双变量”为特征的极值点偏移问题——以2021年新高考全国1卷为例[J].数理天地(高中版),2022(08):26-27.

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[4]何少杰.注重数学本质 聚焦通性通法 提升核心素养——从2021年新高考Ⅰ卷中的极值点偏移问题说起[J].中学数学研究(华南师范大学版),2022(03):6-10.