浅谈工科线性代数的意义

浅谈工科线性代数的意义

程畅，傅小兰

江汉大学，人工智能学院数学与大数据系，湖北武汉， 430056

[摘要] 线性代数是整个高等数学的基础课程之一，它除了可以应用于整个数学领域之外，还在物理学，生物学，经济学，密码学等方面都发挥着至关重要的作用。

[关键词] 线性代数，矩阵，行列式

讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数，它是高等代数中的一大分支。在线性代数的知识内容中，最重要的工具是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪倍受学者们的关注，关于它们的研究有成千篇的论文。向量作为一种特殊的矩阵，从数学的观点来看是一个以有序数组为元素的集合，然而当它以力或速度作为直接的物理意义时，数学上用它能立刻清晰地描述其物理上的内涵，这就显得意义非凡了。当然，向量用于梯度、散度、旋度彰显了它更有说服力的地位。线性代数中的行列式和矩阵宛如微积分中的导数一般，处处可见。虽然从表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它生动的概念却能为新的思想领域打开一扇门。事实已证明，这两个概念是数学物理上高度有用的工具。

线性代数除了在各种代数分支中占据首要地位外，还在数学、力学、物理学等方面都有着极其重要的作用。在大数据及人工智能为首的当代社会，计算机图形学，计算机辅助设计，密码学，虚拟现实等技术无一例外都以线性代数为其理论和算法基础的一部分。该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证，巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学思维训练，增益科学智能都是非常有益的。随着科学的进一步发展，大数据的盛行，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系。事实上，多数实际问题可以在大多数情况下进行线性化处理，借助于计算机的日益发展，线性化了的问题又可以快速计算出来。在这其中，线性代数正是解决这类问题的有力工具之一。

文献[1]介绍了如何利用矩阵的秩来判断平面与平面，平面与直线之间的位置关系。将平面方程写成线性方程组的形式，通过系数矩阵的秩和增广矩阵的秩来判断平面与平面之间的位置关系。相交、重合亦或是平行都可以通过秩来进行判断。文献[2]通过具体实例向我们直观的演示了如何运用齐次线性方程组存在非零解时来解决实际几何问题，通过平面上两已知点坐标与垂直该平面的平面方程来求解该平面方程，进而将这一方法推广到一般情况。文献[3]中提到利用行列式来解决图形面积的问题，初步将行列式的性质应用到几何问题中。文献[4]主要是介绍了二阶行列式的几何意义，及如何将二阶行列式的一些结论运用到某些实际问题中。文献[5]全面地介绍了解析几何中各种图形的性质，让我们更为深入地了解解析几何的思想与理论，以便将线性代数与之结合起来，举一反三，将线性代数的思想与其解题方法联系起来。文献[6、7]详细阐述了线性代数的几何意义，介绍了利用几何思想解决代数问题的实例，更为全面的诠释了代数与几何之间你中有我，我中有你的关系。

通过参阅和研究文献，可以发现利用线性代数这门学科去思考几何问题可以带来极大的方便，下面介绍几个线性代数在几何解题中的结论。

例1：(利用行列式求面积)已知△ABC的顶点分别为 ，则△ABC的面积为：

的绝对值。

例2：(利用行列式求直线方程)

1. 已知平面上3个点分别为 ，则这3个点共线的充要条件为：

2. 已知两点分别为 ，则过这两点的直线方程为：

3. 三条直线 ,, 共点的必要条件是三条直线方程所成方程组的系数行列式等于零。

例3： (矩阵秩的应用)已知平面 ： 与平面 ： ，设线性方程组 的系数矩阵为A，增广矩阵为 ，则若秩(A)=秩( )=2，平面 与平面 相交于一条直线；若秩(A)=秩( )=1，平面 与平面 重合；若秩(A)=1，秩( )=2，平面 与平面 平行。

结论:将线性代数当中的基本知识用于具体的几何问题当中，既能使抽象的代数问题具体形象化，又能使运用传统方法较难解决的几何问题简单化。

参考文献:

[1] 冯锡刚.解析几何中矩阵的秩的应用

[2] 潘杰，苏化明.齐次线性方程组有非零解的几何应用

[3] 曹新． 三角形面积二十式［J］． 数学教学研究，1988 ( 2) : 20 － 21．

[4] 伍启期． 二阶 n 列式的理论及其应用［J］． 数学通报， 1981( 5) : 24 － 25．

[5] 吕林根，许子道，等． 解析几何［M］． 北京: 高等教育出 版社，1982 : 129 － 134．

[6] 萧树铁等. 大学数学——代数与几何[M]. 北京: 高等 教育出版社, 2001.

[7] Gruenberg KW,Weir AJ. Linear Geometry[M].New York Heidelberg Berlin: Spring- Verlag. 1997.