审时度势，巧用“临界状态”解决取值范围问题

审时度势，巧用“临界状态”解决取值范围问题

雷鸣东

陕西省榆林市横山中学

关键词：过程分析、临界状态

摘要：在高三数学复习中，引导学生善于抓住事物变化过程中的临界状态，巧用“临界状况”解决取值范围问题.

在教学中，不仅要关注学习的结果，更要关注学生学习的过程.在课堂教学实施中，多引导和启发学生，为学生搭建思维平台，创设思考与交流的机会，真正实现从“学会”到“会学”的转变.引导学生运用运动的观点看问题，在变化过程中，找准解决问题的“临界状态”，“临界状态”的解决也就意味着该问题的解决.笔者以近年高考试题为例进行分析。

例1 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ．已知 ．

（1）求 ；

（2）若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围．（来源2019全国III卷）

分析：（1） ， ，即 ，得 .

（ 2）如图，我们来分析 为锐角三角形的临界状况即为 或 ，由此得到点 落在线段 上（不包括两个端点），此时_,即 .

例2： 中，.

（ 1）求 ；（2）若 ，分析顶点 的运动轨迹并求 周长的最大值.（2020年全国卷II改编）

分析1：如图所示，由圆的性质知动点 的轨迹为弧 （不含 ）.

分析2：由正弦定理得 ,设 的内角 所对边分别为 由余弦定理得 ，即 .又 ，所以 （当且仅当 时取“ ”），则 周长的取值范围为 .

分析3：有正弦定理得 ， 周长 可以表示为： ， .所以 .

通过对图形的分析，三角形 的形状判断就不在是困难，学生理解起来也较为容易.

例3 以点 为圆心且与曲线 有公共点的圆称之为 的“望圆”，则曲线 的所有“望圆”中，半径的最小值是（ ）（来源2019湖北模拟试题）

_A.B.C.D.

分 析1：曲线 的所有“望圆”中，半径最小的临界状态为“望圆”与曲线 恰有一个交点.联立 .先解方程组 ，得关于 的四次方程 ① ，分析得该四次方程有3个解，所以四次方程可设为 展开得 比较方程①得

即 （舍），或 此时方程②为 该方程的解分别为 或 或 符合 的解只有 ，故 ，即“望圆”的半径最小值为 .

分析2：不妨设 （其中 为参数），代入 得 展开为 得 （舍）或 ，设 ，

，则 ， ，由单调性知 ，故“望圆”的半径最小值为 .

分析3：曲线 的所有“望圆”中，半径的最小的“临界状态”即为 满足 且 使得 中 达到最小即可.现将 展开得 .由 得 ， （当且仅当 时，取到“ ”号），所以得到 （当且仅当 时取到“ ”号）即 ，故“望圆”的半径最小值为 .

例4已知以圆 的圆心为焦点的抛物线 与圆 在第一象限交于 点， 点是抛物线 上任意一点， 与直线 垂直，垂足为 ，则 的最大值为（ ）（来源2021年贵阳市四校模考）

分析：联立方程 ，得 .利用几何画板动画展示动点 的运动过程，由抛物线的定义知 ,则 ，由图知当 三点共线时，即为 取得最大值的“临界状态”，此时 ，所以有 .

例5 设函数 ．

（1）讨论 的单调性；

（2）当 时， ，求 的取值范围．（来源2017全国II卷）

分析：（1） ，令 得， 或 .当 和 时， ， 是单调递减的；当 时， ， 是单调递增的.

（ 2）由（1）知， 的图像如图所示，我们发现 和 的图像都过 点，所以在 时，要满足 ，只需要找出满足 恒成立的“临界状况”，即为函数 在点 处的切线.计算得知该切线为 ，此时 ，由图像可知，当 时， 恒成立，则 .

例 6 已知函数 （ 为自然对数的底数）．当 时，若直线 与曲线 没有公共点，求 的最大值．（来源2013福建卷）

分析：当 时， ， 令 ，得 .由此 在 上是单调递减，在 上是单调递增，当 时， ，当 时， .这样可以大致得到如图所示的图像.判断“当 时，若直线 与曲线 是否有公共点”的“临界状态”，即 为 的切线或渐近线.而直线恒过定点 ，先分析切线，设切点为 , ，切线为 ，将 代入切线方程得 .故切线方程为 ，再分析渐近线，当 ，， 且 ，故直线 是函数 的渐进线，由图像知当 时，直线 与曲线 没有公共点，此时 的最大值为1.

通过上面的例题来看，抓住问题的图形特征，在运动变化中确定求解问题的“临界状态”，

使得复杂问题变得迎刃而解，达到事半功倍的效果.

参考文献：

【1】中华人民共和国教育部.《普通高中数学课程标准（2017年版）》.人民教育出版社.

【2】史宁中,王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版）解读》.高等教育出版社.

【3】章建跃.《中学数学核心内容教学设计的理论与实践总论》.人民教育出版社.

【4】文卫星.《中学数学教学方法研究》.上海社会科学院出版社.

【6】罗增儒.《数学的领悟》.河南科学技术出版社.