寓数于形，以形解数 ----浅谈初中数学中的数形结合

寓数于形，以形解数 ----浅谈初中数学中的数形结合

冷萍

山东省海阳市育才中学 265100

初中数学的教学有两条线：一条是明线，即数学知识。一条是暗线，即数学思想方法。数与形是现实世界中客观事物的抽象和反映，同时也是数学的基石。数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”可见数形结合的重要。在初中数学教材中，从始至终都贯穿着数形结合的思想，因此，在数学教学中，数形结合的结果，更有利于学生理解数学知识，一旦学生形成了数形的思想方法，处理数学问题的能力就会更强。 

一、数与代数中的数形结合

数和形是同一事物的两个方面，数是形的高度抽象，形是数的具体体现，数和形可以互相转化。一般说来，依形想数，可使几何问题代数化；由数想形，可使代数问题几何化，这样数形结合相辅相成，既有利于培养解题思想，又有利于发展思维能力。

例1、一元二次方程解的意义：

ax²+bx+c=0(a≠0)是一元二次方程。它的解可以理解为函数y= ax²+bx+c的图象与函数y=0，即x轴的交点的横坐标。那么当公共点有两个时,对应的一元二次方程有两个不相等的实数解；当公共点只有一个时,对应的一元二次方程有两个相等的实数解；当没有公共点时,对应的一元二次方程没有实数解。

例：①x²-x-6=0，x₁=-2，x₂=3，y=x²-x-6与x轴的公共点A(-2,0),B(3,0)。

②x²-2x+1=0，x₁=x₂=1，y= x²-2x+1与x轴的公共点A(1,0)。

③x²+1=0，没有实数解，y= x²+1与x轴没有公共点。

图① 图② 图③

例2图形隐含条件：

例：在数轴上的位置如图，化简：|a-b|-|b-c|+2|a+c|。

解：∵b<0,c<0,b>c,a>b,|c|>|a|∴a-b>0,b-c>0,a+c<0。|a-b|-|b-c|+2|a+c|=(a-b)-(b-c)-2(a+c)

=-a-2b-c。

例3教师任意写出一个关于a和b的二次式，此二次式能分解成两个一次式的乘积，且各项系数都是正整数，如： a²+2ab+b², 2 a²+5ab+2 b²等。

学生根据教师给出的二次式，选取相应种类和数量的卡片，尝试拼成一个矩形，讨论矩形的代数意义

学生在这一活动中能很好地体会代数与几何的联系，实现数量关系和图形性质的相应转化，这一活动达到了让学生手脑并用的目的，无疑对启迪学生的智慧起到助推器的作用。

例4、成下列计算，

1+2=?

1+2+3=?

1 +2+3+4=?

如果以1+2+3+4为例，

如图：由此可知，

1 +2+3+4=10=

1+2+3+4+5=?

1+2+3+ …+100=?

1+2+3+…+n=?

教师先让学生思考，让学生经历观察、比较、归纳、提出猜想的过程后提供以上图形，运用图形的直观性帮助学生理解，使学生从数与形的联系中发现规律，让学生了解这两个代数知识的几何背景，感受数学的神奇魅力。

在“数与代数”的教学中，教师应强调数与形的结合，让学生建立由数想到形，由形想倒数的思想，这样可以加深学生对“数与代数”的理解和认识，如利用图形理解完全平方公式、平方差公式，利用函数图像理解函数的变化趋势等都是培养学生数形结合思想的极好的方法。

二、“空间与图形”中的数形结合

对于“数形结合”，教师要善于挖掘教材和生活中的素材，从形到数，揭示“形”中“数”的本质。

例5已知线段AB，在AB的延长线上取一点C，使CA=3AB.（1）线段CB是线段AB的几倍？（2）线段AC是线段CB的几分之几？  　　分析：本题若不画图，不好得到数量关系，但只要把图画出，其数量关系就一目了然。由图可知：（1）2倍；（2）二分之三. 

例6如图，是连接在一起的两个正方形，大正方形的边长是小正方形边长的2倍。问：若只许剪两刀应如何裁剪，使之能拼成一个新的大正方形？

对于这一问题学生往往采取实验的方法，这里裁一刀，那里试一剪，但却极少有人能在短时间内拼凑好。如果对题目认真加以分析，我们不难发现，从已知到结论，图形虽然变了，但其中却还有没变的东西——面积，若设小正方形的面积为1，则其边长就是1，这样一来，我们仅需沿着图4中边长为 的线段去考虑裁剪即可，而图中这样的线段没有几条，于是很快就能找到答案。

问题之所以能很快解决，关键是我们从问题“变”中看到了“不变”，从“形”的表面找到了“数”这一实质。一个似乎是纯几何的问题，在“数”的引导下获得了最好的解决方式，这种由表及里，形中有数的思想方法，正是数学中“数形结合”的思想方法。又如，以下几个题目也是数形结合的很好的例子。

　　例7（1）如图1，有一个“顽皮虫”想从点A沿棱长为1cm的正方体的表面爬到点B，求它所爬过的最短路程．

　　析解：欲求正方体表面上点A与点B的最短路程，直接求解有困难，我们把以点A与点B为顶点的相邻的某两个正方形展开，得到一个长方形（如图2），

由“两点之间线段最短”可知，“顽皮虫”在正方体表面上从点A爬到点B的最短路程是图2中线段AB的长．由勾股定理得，（cm）．

故“顽皮虫”爬过的最短路程为 cm．

（2）　如图3，有一圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于6cm，在圆柱的下底面A点处有一只小蚂蚁，它想吃到上底面B点（距D点 圆处）处的食物，需要爬行的最短距离是多少？（π取3）

　　析解：利用展开图将圆柱的侧面展开（如图4），易知蚂蚁在圆柱的表面上从A点爬到B点所经过的最短路程是图4中线段AB的长．由条件知，底面圆的周长＝2π×6＝2×3×6＝36（cm），所以（cm）．由勾股定理知，（cm）．故小蚂蚁需要爬行的最短距离是15cm．

　　（3）　如图5，圆柱形玻璃容器的高为18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点S处有一只蜘蛛，在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm的点F处有一只苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛需要爬行的最短距离．

析解：将圆柱的侧面展开得到它的侧面展开图（如图6），CD∥AB，且AD＝BC＝ 底面周长，BS＝DF＝1cm.则蜘蛛所走的最短路线的长度即为线段SF的长度．过S点作SM⊥CD，垂足为M点，由条件知，SM＝AD＝ ×60＝30，MC＝SB＝DF＝1cm，所以MF＝18－1－1＝16cm，在 Rt△MFS中，由勾股定理得（cm）．故蜘蛛需要爬行的最短距离是34cm．

勾股定理的应用是非常广泛的，它可以帮助我们解决许多问题，在求几何体表面上两点之间的最短距离时，我们可以通过把立体图形展成平面图形，利用勾股定理求出几何体表面上两点之间的最短距离．

例9、（1）如图，用长30m的篱笆与一堵墙围一方土地，求篱笆能包围的土地的最大面积。

(2）如图，用长30m的篱笆与两堵墙（两堵墙成120°角）围一方土地，求篱笆能包围的土地的最大面积。

(3)如图8，用长12m的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，围使透进的阳光最多，应选择窗子的长宽各为多少m？

、

教学中，教师应该不失时机的让学生透过形的外表，触及其内在的数量关系，探索由形到数的联系与规律。

数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且是一种重要的思维方法，它在中学数学中占有重要的地位.“数”和“形”是数学研究的两个侧面，它们互相渗透，相互转化，使得以代数法研究几何，以几何法研究代数成为可能.若能把“数”与“形”很好地结合起来，那么一些看似复杂的问题就会迎刃而解.

三、“统计与概率”中的数形结合

新课标中的统计与概率，在内部编排和内容要求上却由所加强，真正让学生经历统计的全过程，发现并提出问题，运用适当的方法，收集和整理数据，运用合适的统计表统计图来展示数据做出决策。

概率是新增加的内容，其抽象性使它成为教学的难点，在计算简单事件的概率时，采用画树状图的方法，树形结合，能收到化难为易的效果。

一个家庭有三个孩子，求下列事件的概率，正确的有（ ）个

① 　P（三个男孩）=

② P（两个男孩，一个女孩）=

③　P（至少一个女孩）=

④　P（两个女孩，一个男孩）=

⑤ P（至少两个男孩）=

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解： 我们做模拟实验：用1表示男孩，用2表示女孩，请看“树状图”三个孩子的所有可能性排列顺序共有8种.

①　P (三个男孩) =

②　P（两个男孩，一个女孩）=

③　P（至少一个女孩）=1- P (三个男孩)=1- = ，

④　P（两个女孩，一个男孩）= P（两个男孩，一个女孩）=

⑥　P（至少两个男孩）= P（两个男孩，一个女孩）+ P (三个男孩)= + =

故选A（其中②与④等可能的）．

说明：（1）上面四个错误选项是学生经常产生的误解．

（2）引申：由数字1，2可组成多少个有重复数字的三位数（8个），其中两个2，一个1的概率为P（两个2，一个1）=

由于数形结合具有形象直观、易于接受的优点，它对于沟通中知识间的联系，活跃课堂气氛，开阔学生的思路，发展学生的潜能，提高学生的创造思维能力和开拓精神，使学生充分张扬个性，充分发挥潜能，真正实现个体的最优化发展都有很大帮助。