高考模拟题的编制要有利于学生数学思维能力的培养

高考模拟题的编制要有利于学生数学思维能力的培养

陈珍艳

关键词：模拟题；数学；思维能力；培养

用试卷进行笔试的文本性高考，仍是高考选拔人才的主要标准之一.高三一年的高考复习，每月一次的模拟训练，就成了整个复习阶段必不可少的过程，并且起着十分重要的作用.如何编制模拟题？如何发挥模拟试卷的模拟作用？这些问题都成为我们每一个教育工作者和教研部门需要思考和解决的课题.出好一份模拟卷是一件很不容易的事，在编制模拟题时需要考虑数学学习的本质、试题考查的有效性和数学能力培养的结合点.

数学能力的核心是数学思维能力，近几年的数学高考，都强调宽角度、多视点地考查数学素质，对思维能力的要求是：会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用类比、归纳和演绎进行推理；能合乎逻辑地准确地进行表述．“以能力立意命题”，正是为了更好地考查数学思维能力的发展．按照思维过程可以把思维能力分成四类：抽象概括能力、化归转化能力、推理论证能力、猜想发现能力．本文想通过2008年编制温州市第二次模拟试题的过程中，对编制的高考模拟题的分析，谈谈学生思维能力的培养.

1、学生解题过程中数学思维能力的培养

1.1以退为进—化归转化

华罗庚先生曾说过，退到最原始而不失去重要性的地方，把简单的、特殊的问题搞清楚了，并从这些简单的问题的解决中，或者获得解题思路，或者提示解题方向，或者发现一般问题的结论，或者得到化归为简单问题的途径，从而再“进”到一般性问题上来．

例1、已知动直线x=t（t与两函数图像

分别交于两点P,Q，则点P,Q间长度的最大值为（）

A．B．2C．D．3

分析：本题在函数f（x）的具体解析式给出的情况下又定义了复合函数g（x）的表达式，直线x=t（t与f（x）、g（x）的图像相交，关系显得错综复杂．但仔细分析不难发现，题目中则点P,Q间长度的最大值可以转化为

|f（t）-g（t）|的最大值，即把这个问题化归为|sint+=|2sin(t+的最大值，问题迎刃而解,得答案C.

评述：以上例题采用以退为进和特殊化策略，将复杂问题化为简单问题和较熟悉问题，从而达到问题的解决，这正是化归方法的基本思想.

1.2类比联想—推理论证

美国著名数学家波利亚(G.Polya)认为类比就是一种相似．相似的对象在某个方面彼此一致，类比的对象则其相应部分在某些关系上相似．类比与归纳演绎不同，它是直接从选定的对象到另一特定的具体对象的推理，有更大的自由度．它不需要以一般原理为中介，不需要经过抽象阶段，可以在两个不同知识领域之间进行知识的过渡．如，平面几何→立体几何，代数法则算术法则等．

例2、在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则________．

分析：S2ABC+S2ACD+S2ABD=S2BCD，，见图，过程略．

评述：本题是一个探索性问题，要求类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，立体几何中的某些定理性质可以通过联想、类比平面几何中的有关定理性质得到．

1.3抓住本质—抽象概括

出于选拔性的需要，数学高考题中有不少原创型的、背景陌生、题型新颖、结构精巧的题目．这些问题表面上看来难以解决，但是只要合理运用数学知识、数学方法和数学思想，就可以构造出符合条件的已经解决或比较容易解决的数学模型,体现数学教学的本质．

例3、在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，……，an，共n个数据.我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小.依此规定，从a1，a2，……，an推出的a=____________．

分析：设a与各数据的差的平方和为y，则：因n＞0，由二次函数的性质得，y取最小值时，a的值为

评述：本题是一道应用题，主要考查阅读理解能力、构建数学模型的能力和应用数学知识，问题实质是求方差．从实际问题到一般问题的概括及对事物本质属性的语言抽象是高考考查的一个热点．

例4、若已知且恒成立,则实数的取值范围是__▲__.

分析：a≤1．过程略.

评述：本题设计巧妙，采用多参数、双变量形式给出题干，宜用分离参数、整体代换方法，巧妙构造出基本不等式求最值的条件和形式给出解题思路，情景较新，对学生从题目中提取有效信息的能力，探求知识联系，探究解题规律，改进解题过程，寻找解题上的创新，形成解题方法要求较高．编制这样的题目有利于学生在解题过程中进行更高级的思维活动，达到“八方联系，浑然一体；漫江碧透，鱼翔浅底”的境界.

1.4观察分析—直觉猜想

例5、如图，有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是__________．

分析：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱各有三种情况．拼成四棱柱时有一种情况，就是边长为的边重合在一起，表面积为24+28．拼成三棱柱时，边长为的边重合在一起，表面积为24+32，边长为的边重合在一起，表面积为24+36，两个相同的直三棱柱竖直放在一起，表面积为12+48．因为表面积最小的是一个四棱柱，这说明．

评述：本题在具体计算时有简便的方法，即不要直接计算全面积，只要考虑两个相同的直三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱时重合部分的面积最大即可，有了这种直觉才会简化计算过程，教师在教学中要有意识地培养学生这种思维直觉性，减少解题过程中的盲目计算．

2、让学生的创新思维在解题后继续飞翔

新课标提出一个基本理念：高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。所以创新思维是所有思维的最高层次。

2.1发散思维—寻找创新

波利亚说过“一个好的教师应该懂得并传授给学生下述看法：没有任何一道题可以解决得十全十美，总剩下一些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平”.高考模拟题的编制要有利于学生解题后不断地探究问题的知识结构和系统性,对问题蕴涵的知识、方法和思想进行纵向的探究和横向的联系.

例6、已知是的重心，且，则（▲）

A．B．

C．D．

命题时的原意是:因为结果是比较三个数的大小，可利用与作差,-=，不难发现,只需判断的符号.根据三角形知识得出答案是A.没想到,学生解题之后,意犹未尽,学生通过观察三角形三边长的关系,想出以A为原点,AC边所在的直线为X轴建系,B的坐标为(3,4),从而求出重心G的坐标,得出答案.

这样的解答既简洁又能抓住数量积的几何意义,学生自主应用解析法,体现出问题的本质.这样的问题反映了知识联系上的创新,加深学生对知识系统性的理解,优化学生的数学思维.

2.1探究规律—形成个性

培养学生的思维能力,发挥他们思维的主体性作用是关键.引导他们自发领悟，达到自觉分析解题境界是学生思维能力的最高体现,最后形成自己认知结构的个性特征是我们数学教育工作者的职责.因此,高考模拟题的编制需要有丰富的知识和思维内涵,有一定的探究价值.于是我编制了

例7、已知数列{}的前项的和为,对一切正整数都有

（1）求证:是等差数列;并求数列{}的通项公式;

（2）当,证明:

分析：第(1)小题利用Sn的表达式求an,属于常规题型,不难得出：a¬¬n+1+an=2n+1.

解题后学生善于寻找新的思维亮点,从而得到下面三种解法,培养了学生思维的广阔性.

学生一:通过猜想、归纳、数学归纳法证明得出结论.

学生二:构造法：a¬n+1-（n+1）=-（an-n），再令bn=an-n进行换元.

学生三:an+1+an=2n+1,an+2+an+1=2n+3相减得an+2-an=2,进行分类讨论得结果.

为了引导学生寻找解题方法的创新,引导学生寻找上述解法的本质内涵,要求学生对问题进行寻根问底,得到有规律性的发现.学生启迪思维,得出两种解题方法.

方法一:（共2n），则

+>+=,由单调性得出结论.

解题之后,学生总感觉有更简便的解法有待寻找,为了促进学生认知结构的个性特征的形成,向学生揭示问题设计的意图,引导学生发现的编制目的,学生得出独到见解的方法二.

方法二:

>==

学生能进行这样探究性、创造性的思维，令人欣慰，令人振奋，体现了模拟题的编写价值。解题后引导学生不断地对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括，对问题中所蕴含的数学方法、数学思想进行不断地思考并做出新的判断，让学生体会解题带来的乐趣，享受探究带来的成就感.

总之，数学思维能力是一个广泛的概念，它是内在的思维品质外化为思维的结果．高考题及模拟试题的编制要有利于培养学生良好思维品质的极好素材，其中不乏一些设计新颖，极富创意的问题．教师通过这些试题的教学有利于培养学生学会学习、学会独立思考、学会分析问题的能力；有利于培养学生理性思维能力；有利于避开“题海战术”，真正做到“授人以渔”．

参考文献：

[1]张国隶.让学生的思维在解题后继续飞翔.中学数学教学参考,2005,6

[2]孙维刚.用生命感到生命.天津教育报,2002,8

[3]郝澎.编制模拟题有感.中学数学教学参考,2004,6