弹性力学的广义变分原理

弹性力学的广义变分原理

朱曼丽

哈尔滨铁道职业技术学院黑龙江哈尔滨150000

摘要：研究了在弹性力学的三类变量广义变分原理中，变量三个变量是否独立，是否包含了应力应变关系。指出了在应用广义变分原理时应满足下列条件：泛函中的应变能用应变表示、应变余能用应力表示：在用广义变分原理求实际问题的近似解时。三类变量的试探函数可以独立选择，但各类变量之间应不违背力学基本关系。为了解除应力应变关系的变分约束，我们提出了一个高阶拉格朗日乘子法。用这个高阶拉氏乘子法，我们从胡鹭原理和海赖原理分别导出了前所未知的更普遍的广义变分原理。我们也证明了在这两类变分原理之间，有等价定理和相关的等价关系存在。

关键词：弹性力学；广义变分原理

前言：弹性力学广义变分原理是弹性力学最小势能原理和弹性力学最小余能原理的推广，其特点是，变分式中各量都可有独立的变分，并且事前不受任何限制。

1.广义变分原理Ⅰ

1.1广义函数及其构造。

弹性力学最小势能原理和弹性力学最小余能原理的推广，其特点是，变分式中各量都可有独立的变分，并且事前不受任何限制。在弹性力学空间问题中，最一般的广义变分原理可叙述为：弹性力学空间问题的解必须满足弹性体的广义势能变分为零的条件，该条件又称为驻值条件，即

方程，包括应变-位移关系，应力-应变关系、平衡方程和边界条件。上述变分原理的独立变量有位移、应变、应力三类，因此称为三类变量广义变分原理。它是中国力学家胡海昌于1954年首先提出的，日本的鹫津久一郎于1955年也独立地得到这一原理，所以又称胡-鹫津原理。

弹性力学广义变分原理有一种稍弱的形式，即二类变量广义变分原理，又称为赫林格-瑞斯纳原理。它由E．赫林格于1914年和E．瑞斯纳于1950年分别独立提出，其数学表达式为：

在有限元法和工程弹性理论中，广义变分原理有广泛的应用。例如，在板壳弯曲的有限元计算中，用它处理变形的不协调性，可得到较好的结果。对于解决几何非线性问题，胡-鹫津原理是一个有力的工具。在工程弹性理论中，广义变分原理可用于推导各种近似理论；在弹性振动和稳定理论中，可用于求固有频率和临界载荷，并能获得较好的结果。

用拉氏乘子法建立广义变分原理的广义泛雨的方法，这样就使构造广义泛雨的方法建立在严格的数学方法的基础上，使深入分析广义变分原理及促使它们进一步发展建立了理论基础。利用变分问题描述弹性力学问题，各类广义变分原理实质上是旅于势能密度与余能密度的数学形式的展础上，在各种变分约束条件，变分条件和一般约束条件下的匹配问题。由于已知的广义变分原理中的广义泛雨，都是基于势能声度和余能密度基础上构造的，这样应力应变的关系式对广义泛雨万而言是一般约束条件，因此无法利用（线性）拉氏乘子法解除一般约束条件，所以实质上为二类内变雨数的广义变分原理。

1.2广义函数的规一化。

考虑到历史的原因，我们称势能极值原理与余能极值原理为标准型变分原理.对各类广义变分原理而言，当把变分条件还原为变分约束条件时，通过自变雨数的代换，广义变分原理退化为标准型变分原理，这个过程叫规一化问题.在规一化过程中，可以形成各种类型的广义变分原理。

结语：弹性力学的各类广义变分原理实质上是基于势能密度和余能密度的表示形式上，各种变分约束条件、一般约束条件、变分条件之间的匹配问题。通过规一化过程，分别把几何方程、物理方程、平衡方崖以及边界条件转化为变分约束条件时，得到各类广义变分原理。各类广义一变分原理从不同角度描述了弹性力学问题。为工程结构的近似计算和数值计算提供了新的途径，为形成新的离教方法提供了理论基础。

参考文献：

[1]牛庠均.弹性力学的广义变分原理（二）[J].北京工业大学学报，1990（04）：30-36.

[2]牛庠均.弹性力学的广义变分原理[J].北京工业大学学报，1989（02）：1-11.