弹性力学的平面问题解法

弹性力学的平面问题解法

朱曼丽

朱曼丽

哈尔滨铁道职业技术学院黑龙江哈尔滨150000

摘要：本文从弹性力学最基本的平面问题出发，通过求解平面问题的解析法、数值法和试验方法来感受弹性力学研究问题的手段、方法，体会弹性力学的魅力，并为其它力学学科的学习打下基础。着眼于弹性力学求解方法中一些方法，通过其在平面问题中的应用来介绍几种方法的研究思路，研究方法以及优缺点。弹性力学作为固体力学的一个重要分支，它的研究对象是板、壳、实体以及单根杆件,它是研究弹性固体由于受外力作用，边界约束或者温度改变及其他一种或多种外界条件作用下产生的应力、应变和位移。它的研究对象是板、壳、实体以及单根杆件。

关键词：弹性力学；平面问题；解法

前言：弹性力学是材料力学问题的精确解，是结构力学，塑性力学等力学学科的基础，其广泛应用于土木工程、航空航天工程及机械工程等多个学科领域。并且随着科学技术手段的进步，电子计算机得以应用到弹性力学的计算分析中，这极大地促进了弹性力学问题的分析计算更加深入，促使了有限单元法得以实现。本文从弹性力学最基本的平面问题出发，通过求解平面问题的解析法、数值法和试验方法来感受弹性力学研究问题的手段、方法，体会弹性力学的魅力，并为其它力学学科的学习打下坚实的基础。

1问题解法

1.1解析法

解析法是根据研究对象在结构中的静力平衡条件，几何关系和物理关系建立边界条件，平衡微分方程，几何方程和物理方程，并以此求解应力分量，应变分量和位移分量的一种平面问题的精确解法。按求解时的基本未知量选取不同可分为按位移求解的位移法和按应力求解的应力法。第一个位移法：以位移为基本未知量时的基本方程如下：

位移边界条件如下

从上面的公式可以看出位移法求解平面问题时的基本未知量只有两个，与应力法的三个基本未知量相比求解简单很多，并且不但能求解位移边界条件，还能求解应力边界条件与混合边界条件。第二个应力法：应力法以应力分量作为基本未知量，由此平面问题的平衡微分方程，几何方程，物理方程以及边界条件经过推导可变为如下形式：

基本方程：

应力边界条件：

值得注意的是按应力求解时边界条件应全部为应力边界条件。对于位移边界条件，虽然在局部边界上可用圣维南定理转化为应力边界条件，但此时得到的解答已不是精确解，同时上述推导过程是基于平面应力问题的，对于平面应变问题应把弹性常数作相应调整。

1.2数值解法

弹性力学平面问题的解法虽然针对某些问题来说可以得到精确解，但是其不适合实际工程中复杂问题的计算。相反的，数值分析方法虽然只是对实际问题的近似解答，但其求解时的过程清晰，步骤明确，便于编程，并且工程上常有安全系数的保证，因此近似解与不会对实际工程造成太大影响。从而使数值分析方法在工程问题中得到大量应用。数值分析方法有以下三种：差分法：用差分方程替代平衡微分方程，将求解微分方程变为求解代数方程，简化了计算。变分法：变分法其实是一种能量法，以外力所做的功及弹性体的应变势能来建立弹性力学的求解方程。其中基本未知量为弹性体的虚位移，运用的基本原理为虚位移原理和最小势能原理。有限单元法：在力学模型上进行近似将弹性体简化为有限个单元体，且各单元体之间仅在有限个结点处交铰结而成的结构物。然后进行单元分析，形成单元刚度矩阵，进行整体分析，集成整体刚度矩阵，并运用矩阵位移法求解。有限单元法便于编程，因此随着电子计算机技术的发展得以广泛应用于工程实践的各个方面。相关软件有ANSYS、ADINA、MSC、ABAQUS。

1.3有限单元法

从物理概念上看,弹性力学有限单元法是杆系结构力学的矩阵位移法(即杆系结构的有限单元法)的推广.对杆系结构,很自然地将杆件作为单元.但是对于弹性力学问题,无论是平面问题,还是空间问题,弹性体是个连续体.为了能用结构力学的矩阵方法来计算弹性力学问题,首先必须对弹性体进行离散化.也就是将连续的弹性体分割成有限个有限大小的构件,它们通过有限个点互相联系.这些有限大小的构件就成为有限单元,简称有限元,而连接它们的点就称为结点.对平面问题,最简单、最常用的是三结点三角形单元,并在结点处取铰接.在结点位移或其某一分量可以不计之处,就在该结点上设置一个铰支座或相应的连杆支座.图1为深梁和水坝的离散化模型.通过离散化后,由于单元之间只通过结点联系,力与变形也只通过结点来传递,所以物体所受到的体力和面力,都应按静力等效的原则移置到结点上,成为结点荷载.这样,通过离散化就得出了一个由若干个单元在结点处铰接,并受已知结点荷载的结构体系,这就是有限单元法的计算模型.计算时通常采用位移法,即取结点的未知位移为基本未知量.对单元选择适当的位移模式即形状函数,则单元内任一点的位移可由结点位移表示.通过对单元进行变形几何关系、物理关系、静力平衡关系的分析就能得到应变、应力分量及结点对单元的作用力,即结点力和结点位移的关系.这样,所有欲求的力学量都用结点位移表示,这一步称单元分析.再对每一结点建立结点荷载与结点力的平衡关系,则对整个体系可以得到一组以结点位移为未知量的代数方程,这一步称整体分析.引人支承条件,求解线性代数方程组,求出结点位移,进而求出其它的力学量.这就是弹性力学的有限单元法,对于这种方法,已经有许多成熟的有限元软件可以使用,如:ANSYS,NASTRAN等,它们不但可以求解平面问题,而且可以方便地求解弹性力学的空间问题.

1.4应力函数法

艾瑞(Airy)引入了一个自然满足平衡微分方程的应力函数,使得3个应力分量由一个应力函数来决定。这样,就把基本方程的未知函数减少到1个,使问题得到简化。该法称为应力函数法。

应力函数法,是弹性力学中应用最广泛的一种方法。这种方法,不需要考虑平衡微分方程,因为应力函数h本身就是平衡微分方程的解,这当然给解题带来了极大的方便。特别是对于那些应力函数h只是某一坐标的函数而与其他坐标无关时,相容方程变成一个常微分方程,使得应力函数的求解相当方便。这种情况下,用应力函数法求解,一定能取得很好的效果。然而,对于应力情况复杂,或者几何形状不规则,或者属于混合边值问题而且边界条件又比较复杂的情况,采用应力函数法进行计算就比较困难了。我们用应力作为基本变量求解弹性力学的平面问题,在体力为常量时,归结为在给定的边界条件下,求解平衡方程

直接求解弹性力学问题往往是很困难的,有时可以使用逆解法和半逆解法,例如:在直角坐标系下用多项式逆解法来解答一些具有矩形边界且不计体力的平面问题(如矩形板或梁),用三角级数求解等,也可以通过量纲分析来确定应力函数的形式.还有一种方法,它的基本思想是以材料力学的结果作为基础,验证它是否满足弹性力学的全部方程,如果不满足,就设法加以修正,直到满足全部方程和全部边界条件为止.

2实验的方法

除了解析法和数值分析方法外，工程上常用的简单实用的方法还有实验法。将弹性体贴上应变片，连接上计算机便可以轻松模拟计算弹性体的内力分布情况。

3结语

弹性力学问题求解的解析法，数值分析方法和实验法各有千秋，应结合具体的工程实际问题选用合适的方法。同时也应认识到目前弹性力学求解方法并不完善，在工程中中仍有许多问题还无法得到令人满意的结果。因此学习掌握弹性力学的现有方法，并结合科学技术的发展和认识了解的加深提出新的，更加符合实际工程要求的弹性力学求解方法才是弹性力学研究的根本目的所在。

参考文献:

[1]程渭民.对弹性与塑性力学基础教学的思考田.南昌大学学报(I学胸,2以力,22(4):133一135.

[2J吴家龙.弹性力学I间北京:高等教育出版社,2001.