谈线性代数中标准正交基的教学

[摘要]本文介绍在大学线性代数课程中有关标准正交基的教学。标准正交基是线性代数中一个较为抽象概念，本文主要阐释如何进行标准正交基的课堂教学，使学生能够收到良好的教学效果。
[关键词]标准正交基 Schmidt正交化方法 投影原理

作为数学的一个分支，《线性代数》是理工科大学生的一门重要的数学基础课，为学习后继课程奠定必要的数学基础。这门课的特点是基本概念、理论和方法具有较强的逻辑性、抽象性和应用性。既有一定的理论推导，又有大量的繁杂运算。尽管概念多而且抽象，但往往好多概念是植根于我们客观的现实生活，具有直观的几何背景和深刻的实际应用价值。本文将以向量空间中的标准正交基为例，从几何背景入手，使学生能够轻松而迅速地理解和把握标准正交基的概念和性质。
一、标准正交基的定义
在阐释标准正交基的定义之前，首先要回答为什么在向量空间中引入标准正交基和引入这个概念以后会有什么好处的问题。在向量空间中，给向量空间找一组基，其目的在于给向量空间建立一个坐标系。如果找的基不同，那么建立的坐标系就不一样。建立了坐标系以后就可以定位向量空间中的每一个向量，即每一个向量在确定坐标系的位置可以惟一确定。进一步，空间中的线性变换的运算就完全转化为坐标的运算。在向量空间中为什么要定义标准正交基呢？如果向量空间中的基选取的比较特殊而且简单，那么空间中的向量在这组基下的坐标容易计算。这个基就是我们要定义的标准正交基。

二、标准正交基的构造
如何来构造向量空间中的一组标准正交基呢？利用向量空间上的一组向量可以生成一个子空间。Schmidt正交化方法就是将这一子空间上的一组基生成一个标准正交基，其实际原理用的是投影原理，即在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。大多数的教材是给出Schmidt正交化的步骤，然后用数学归纳法来证明如此构造的一组向量组是向量空间的一个标准正交基。如果按照教材编辑的逻辑体系来讲，学生会可能会认为很抽象，并不能正在体会到构造向量空间标准正交基的原理。如果能结合几何直观背景可以降低学生抽象思考的难度，而且有助于学生深化对所学知识的理解。
1.标准正交基的构造

三、标准正交基的性质
1.向量在标准正交基下的坐标
设V是向量空间,e1,e2,...en是V的一个标准正交基，则V 中的任一向量a都可由标准正交基来线性表示:
a=x1e1+x2e2+…+xnen，
称x1,x2,...xn向量a标准正交基e1,e2,...en下的坐标.
如果想求x1,x2,...xn,只需分别将向量a在标准正交基方向e1,e2,...en上投影并求投影长度即可，求投影长度就是求内积，也就是：x1=(a,e1)=aTe1.

四、总结
本文主要阐述在大学线性代数课程中有关标准正交基的教学，结合线代代数的几何意义，使学生能够收到良好的教学效果。
[参考文献]
[1]曹伟丽,蔡康盛.线性代数,湖南科学技术出版社,2005.
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（作者单位：上海理工大学 理学院 上海）