以平面几何为基 发展核心素养——以“旋转”为例

以平面几何为基 发展核心素养——以“旋转”为例

徐佳萌

上海市华东模范中学 200010

摘要：《义务教育数学课程标准（2022年版）》强化了课程育人导向，应着力培养数学核心素养。在“旋转”的教学过程中，把握“基本套路”，体现数学育人价值；强化情境设计和问题提出，发展核心素养；体验性质探究的过程，突出学生的主体性。

关键词：“基本套路”；情境设计；性质探究；核心素养

《义务教育数学课程标准（2022年版）》【以下简称《课标（2022年版）》】强化了课程育人导向，应着力培养数学核心素养。在“教学建议”中指出要注重教学内容与核心素养的关联，在图形与几何领域要求学生在对立体图形和平面图形关系的认识过程中，感受图形的抽象性，逐步形成空间观念和初步的几何直观；要重视情境设计和问题提出在促进学生积极参与教学活动中的作用，使学生在活动中逐步培养核心素质。[1]下面笔者以沪教版教材七年级上册第十一章“图形的运动”的重点课时“旋转”教学为例，谈谈在这方面的思考。

1 教前分析

1.1 教材分析

在“图形的运动”一章中，教材以生活实例为背景，以操作→表象 →概念（性质）→简单应用为主线，引导学生通过操作获得知识。通过本章的学习，学生将了解如何从运动的角度看待静态几何图形，并感知几何变换的思想。例如，平面上两个形状、大小完全相同的图形可以通过平移、旋转、翻折这三种基本运动使其完全重合，为今后研究图形的全等和相似奠定基础。

本节课通过具体的操作活动，使学生了解图形旋转的相关概念，探索旋转的性质，初步感受图形在旋转运动过程中的不变性，能够画出简单图形绕某一点进行旋转运动后的图形。

1.2 学情分析

通过小学阶段图形与几何领域的学习，学生对图形的平移、旋转有了初步的认识，能辨认出生活中的旋转现象，为本节课学习图形的旋转奠定了基础。这节课的内容主要是在操作、观察的基础上来学习相关内容，符合学生的个性特点，而且七年级的学生有了一定的观察和抽象能力，能够将生活实例抽象成几何图形，但学生的逻辑思维能力相对较弱，在授课过程中需要教师加以正确的引导。

2 教学过程

2.1 情境引入

在现实世界中有各种各样与旋转相关的现象。例如：游乐园里旋转的摩天轮、地球绕着太阳转、汽车行驶过程中车轮的旋转、神舟飞船绕着地球转等。因此，了解旋转运动的规律，对于人类的科技发展、生产活动乃至我们的日常生活都是很重要的。

问题1：你能再举出一些旋转的例子吗？（学生指出：时钟的秒针的转动、电扇叶片的转动等）

追问：你能将上述旋转现象进行分类吗？

师生活动：教师通过提问引导学生分析和讨论，使学生明白旋转现象有很多种。比如，如果把太阳和地球都看成一个点，就是一个点绕着另一个固定点的旋转；摩天轮是绕着一根固定的轴旋转；车轮是绕着车轴旋转，而车轴向前平移，等等。

教学说明：在现实世界中，旋转运动是多种多样，其复杂程度也不相同。对于复杂的事物，数学中往往采用由简到繁的方法来研究。同样地，我们先来研究最简单的旋转运动，即平面中图形绕一点的旋转运动。

2.2 新知探索

问题2：请同学们先画一个三角形ABC，然后将其旋转。

追问：（1）如果让三角形ABC绕点A旋转，你能得到几个三角形？（2）如果让三角形ABC绕点A旋转30°，你能得到几个三角形？（3）如果让三角形ABC绕点A顺时针旋转30°，你又能得到几个三角形？

教学说明：让学生动手画图，开始会遇到困难，接着通过学生提问和三个追问问题，感受旋转中心、旋转方向、旋转角这“三要素”对确定一个旋转运动的作用。

问题3：结合刚才的作图过程，请同学们说一说唯一确定旋转后得到的图形都需要什么条件？

问题4：你能试着概括出“图形的旋转”的概念吗？

师生活动：学生尝试总结概念、教师对概念进行完善并板书。

教学说明：问题3引导学生及时归纳、及时总结旋转的“三要素”，问题4让学生尝试用总结的旋转“三要素”概括出图形的旋转的概念。

问题5：你认为“图形的旋转”概念中有哪些关键词？又该如何理解？

师生活动：指导学生学习了新概念后如何对概念进行辨析，达到加深学生对新概念的理解的目的。

教学说明：通过师生互动，明确旋转概念中的三个重点：（1）旋转中心是一个固定点；（2）旋转角的大小也是固定的；（3）旋转方向有两个：顺时针方向和逆时针方向。

练习1 如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置。

（1）旋转中心是哪一点？

（2）旋转角是多少度？

（3）若点M是边AB的中点，经过上述旋转后，点M转到了什么位置？

师生活动：学生先独立完成，再回答。在学生回答的过程中，以“你是如何想到的”这一问题为引导，让学生用概念做判断。

教学说明：通过练习1，及时巩固概念，并补充对应点的概念。

追问：你能找出上述旋转中点E、A、C的对应点吗？

问题6：类比探索图形的平移的性质的过程，我们该如何研究“图形的旋转”的性质呢？

师生活动：通过类比迁移，使学生根据探索图形的平移的性质的过程，确定研究图形的旋转的性质就是研究旋转前后的两个图形之间的关系。而平面几何主要研究图形的形状、大小和位置，所以我们应该研究旋转前后的两个图形之间的形状、大小和位置关系；点动成线、线动成面，故还应该研究“对应点”之间的关系；由于一个图形旋转后到达什么位置由旋转“三要素”唯一确定，所以在研究旋转性质的过程中要充分利用旋转的“三要素”。

教学说明：通过类比，让学生明确研究思路、研究对象，再进行具体研究。

操作1 将一张正方形纸片平放在纸上，沿四边画出它的初始位置和正方形的两条对角线，在对角线的公共点上用大头针钉住.旋转正方形，最少旋转几度可以使它与初始位置的正方形重合？每转多少度会重复上述现象？

操作2 在两张透明的纸上分别用圆规画出两个大小相同的圆A、圆B，然后把其中的一张纸盖在另一张纸上，使圆A、圆B完全重合；选一点F，用一根大头针钉在这点上，旋转圆B，直到圆B第一次完全盖住圆A.这时圆B旋转了多少度？

教学说明：通过操作1和2，使学生明白：平面内的任意一个图形无论是绕图形上的任意一点还是绕图形外任意一点旋转360°，都能与旋转前的图形重合，且图形的形状和大小不变。

操作3 教师事先准备了透明卡纸，让学生在画有线段OA、OB、OC的纸上放一张透明纸，描出线段OA、OB、OC，用一枚图钉钉在点O处。把纸绕着点O旋转到新的位置，使点A旋转到点A1，点B旋转到点B1，点C旋转到点C1。

师生活动：通过直观的操作、演示，让学生在动态变化中观察“旋转中心”、“旋转角”，尤其要注意观察图形中各点的旋转角的大小，观察图形的旋转不变性。在此基础上，引导学生进行讨论，得到图形旋转的相关性质：对应两点到旋转中心的距离相等、每一对对应点与旋转中心所连线段的夹角是一个定角，其大小等于旋转角。

追问：每一对对应点与旋转中心所连线段的夹角是一个定角，其大小一定等于旋转角吗？

操作4 将三角形ABC绕三角形内一点O旋转，你能发现旋转的哪些性质？

教学说明：通过操作3，使学生对旋转的性质有一个基本的认识；通过追问提出质疑、再操作验证，完善操作3得到的旋转的性质；通过操作4，学生类比研究图形的平移的性质时的方法，可以得到旋转中关于对应线段、对应角的性质以及旋转前后图形的形状、大小之间的关系。在探究旋转的性质过程中，向学生渗透提出问题、解决问题的数学学习方法和类比的数学思想方法。

2.3 新知运用

例题  画出三角形ABC绕点O按逆时针方向旋转45°后的图形。

师生活动：教师讲评并对作图步骤进行分步指导，学生尝试动手作图。

教学说明：画一个多边形经过旋转后图形的关键是画出这个图形的顶点经过旋转后的对应点。通过对例题的讲解，使学生知道图形在旋转过程中旋转角是不变的。由于本节课主要在操作、观察的基础上学习图形旋转的有关知识，所以要重视学生数学思维能力的培养。

思考(1) 点A绕点O按逆时针方向旋转90°后，它经过的路线是怎样的图形？

思考（2）画出线段AB绕点A顺时针方向旋转45°后，它所扫过的平面部分是怎样的图形？

教学说明：通过思考（1）和（2），让学生感悟点动成线、线动成面的轨迹思想。

2.4 归纳小结

问题7：本节课学习了哪些内容？你有什么收获？

师生活动：通过提问，让学生先进行总结，教师在此基础上根据本节课的学习过程重现本节课的学习内容，即图形旋转的概念和性质，并强调图形旋转性质中比较容易出错的部分，最后形成本节课的知识框图，并指出画一个图形绕一点旋转后的图形时常常用转化的数学思想。

教学说明：关注数学课堂的完整性，从内容和学习方法等方面为学生梳理本节课的学习过程及知识框架，运用研究平面几何的“基本套路”发挥数学的内在力量，使学生学会用数学的方法认识和解决问题。

3 教学思考

3.1 把握“基本套路”，体现数学育人价值

数学的育人作用主要体现在开发学生的智力，锻炼学生的逻辑思维，使学生学会认识问题和解决问题的基本方法，并提高学生的逻辑思维能力、培养学生的理性精神。如何让学生学会数学地认识和解决问题？这就要求教师充分理解数学的基本思想和方法，掌握数学地认识和解决问题的“基本套路”，从而在教学过程中跟踪数学认识问题的轨迹，引导学生通过这样的过程逐渐学会用数学的方法认识和解决问题。

章建跃博士曾指出：几何研究的“基本套路”是明确问题——定义对象——研究性质（判定）——应用。[2]本节课中“情境引入”环节对应“明确问题——定义对象”，体现了数学研究对象的抽象过程和数学概念发生发展的完整过程，体现了“数学教学要讲背景”的要求；“新知探索”环节对应“定义对象——研究性质（判定）”体现了从概念和概念间的相互关系认识数学对象，图形运动或变化过程中体现的规律性归纳形成旋转的性质；“新知运用”环节体现了数学知识的应用功能。

整节课以几何研究的“基本套路”为主线，渗透平面几何的基本思想和方法，让学生动手操作、交流互动，不断提高学生在课堂上分析问题和解决问题的能力，让学生尝试用数学方法来认识和解决问题。

3.2 强化情境设计和问题提出，发展核心素养

《课标（2022年版）》指出：要注重发挥情境设计与问题提出对学生主动参与教学活动的促进作用，使学生在活动中逐步发展核心素养。在情境引入环节，从学生熟悉的生活情境入手列举了大量生活中和旋转相关的例子，能让学生感受到数学在现实世界的广泛应用；在整节课堂中，教师不断以具有针对性和引导性的问题进行提问，使学生逐步对所学内容产生更深层的认识；通过情境创设和七个问题的提出使学生在数学学习过程中关注数学知识的同时也关注到数学概念的现实背景，帮助学生逐渐养成从数学角度观察现实世界的意识和习惯，培养学生的好奇心、想象力以及创新意识。

3.3 体验性质探究的过程，突出学生的主体性

《课标（2022年版）》在对本节课的目标阐述中写道：探索旋转的基本性质。“探索”是指在特定的问题情境下，独立或合作参与数学活动，理解或提出数学问题，寻求解决问题的思路，获得确定结论。在教学中，教师要关注学生对性质的深刻理解。在本节课中通过路径（教师将问题放置于特定的情境中、让学生自己去尝试发现问题、与同学一起思考如何解决问题、最后总结发现的规律），让学生体验独立思考和小组合作，因此学生才会对所学知识印象深刻。本节课的性质探索环节给予学生充分的时间进行操作、观察、交流、互动，教师对学生观察不到位的地方进行补充，不仅使旋转的性质归纳得水到渠成，也培养了学生如何在解决问题的过程中有效思考的习惯。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2022年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]章建跃. 章建跃数学教育随想录[M]. 浙江：浙江教育出版社，2017.