问题驱动式在中学数学教学——以变化率与导数为例

问题驱动式在中学数学教学——以变化率与导数为例

黄冰洁

新乡市第二中学

摘要：分析了许多数学理论是由具体的数学问题发展而来的，提出问题驱动式教学在中学数学教学中的作用，通过问题驱动式教学在向量教学中的分析，进一步总结出问题驱动式教学的一些使用策略。

关键词：问题驱动 中学数学教学 建议

一切科学的研究，基本是通过提出问题、分析问题、解决问题而进行的，数学的研究也不外乎如此。也就是说，数学的研究是通过问题来驱动的。从数学史的发展历程中来看，我们能够发现许多以具体的数学问题命名而继续深入研究的数学理论，如由“哥尼斯堡七桥问题”所发展出的数论与几何拓扑，由绘画、制图中的透视问题发展而来的射影几何学，由“赌徒分赌注”问题而发展出的概率论。不难发现，促进数学的发展中很大一部分来源于具体的数学问题。

1. 问题驱动式教学在数学教学

问题对数学的发展至关重要，同样，如果教师在数学教学过程中只是注重理论知识的灌输，而忽略了理论的来源，则会使学生在学习的过程中感到枯燥无味，对一些与生活实际关系不大的问题也会觉得不知所云。而从学科数学与科学数学本身的关系来看，学科数学的材料与内容来源于科学数学，因此，在一些数学知识的教学中，教师可以通过知识被发现时的真实数学问题，并对其进行适当的提炼、加工，让学生通过对具体问题的思考，进而探索新的知识，将数学知识转化为学生易于接受的形式，即通过问题引导学生探究其后的本质，引导学生还原数学研究的过程，无形中将知识用一系列的具体问题连贯起来，既能够帮助学生理解，同时也能够使学生形成较为完整的知识链。

在一个成功的数学教学过程中，教师是需要培养学生积极思考，并能够逐步做到更清晰、更全面、更深层次地去分析问题，而简单地通过知识点灌输的传统教学，则难免会使学生将数学学习格式化，认为数学是一个机械学习的学科，在学习时陷入做题、计算、纠错的循环中，缺乏了动脑思考的过程。问题驱动式教学则由具体问题出发，引出所学习的知识，通过教师的适当引导，让学生在思考中一步步靠近所学习的内容，一方面锻炼了思考能力，体会到数学学习的乐趣，另一方面，由于很多数学问题是由物理、生物等其他学科中的问题发展而来的，如天文学研究过程中产生的对数与对数函数以及牛顿在研究中所创立的微积分等，数学的这种广泛性，使学生问题驱动式教学的学习过程中不仅提升了自己的综合素养，还看到了数学与现实问题的内在联系，让学生不再将数学视为一门充满逻辑与运算的枯燥学科。

在中学数学知识体系中，有些知识对学生而言较难，如果教师直接从知识点入手讲解，不利于学生对知识的深入掌握，同时不能较好地帮助学生将中学数学与大学数学进行较好的衔接。以导数及其应用为例，教师可以通过问题驱动式教学的方法，将抽象的导数概念具体化，进而帮助学生理解导数与积分的概念。而这一教学法的关键在于问题的设计，以及层次的逐步深入，德国数学家康托曾说过：“数学领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。”而通常情况下，数学概念在真实的数学史上提出时所研究的问题较为发复杂，这时，教师能否拥有较高的提出问题的能力则十分重要。

2. 问题设计

案例：变化率与导数

问题1：在公路上我们经常可以看到摄像头拍下行驶的车辆，从而分析车辆是否超速，同学们知道这个速度是怎么得到的吗？

这一过程所计算的是瞬时速度，是利用短时间内两次拍摄的位移变化与时间差之比来表示瞬时速度，即，也就是使用增量之比来表示。

问题2：在理解了变化率的概念后，我们不妨再来思考一个问题，同样是一辆运动的车辆，在经过测速仪时突然加速，我们运用上题中所学的方法得到了它提速后t秒的速度，如果我们想要预估它这样行驶下去什么时候会超速，我们就需要知道这辆车的加速度，请同学们思考这个加速度应当如何表示？

这其实便引出了极限的思想，在我们知道了速度的变化量与时间的变化量后，我们可以利用得到在这段时间里的加速度，当然从物理的学习中我们知道，这个加速度能够反映这段时间的平均加速度，但是如果我们可以使这个时间间隔足够小，也就是使，研究的变化，也就是研究的极限，我们就得到了所求的瞬时加速度。而这个瞬时变化率，就是我们所要学习的的导数。

问题3：了解了导数就是瞬时变化率，我们接下来不妨沿着之前的思路，初始速度为时，如果加速度保持不变，我们知道速度v与时间t以及加速度之前的关系应为，请大家思考一下，加速度表示的是什么？如果加速度变化呢？

这里引导学生对瞬时变化率也就是导数的几何意义的探索，不难发现，加速度在公式中为所描述直线的斜率，也就是说导数表示的是图象的斜率。而在现实生活中，加速度显然是一个不断变化的量，而这里不变的是，不管加速度如何变化，它都是反映速度v与时间t的变化率的量，也就是我们真实得到的图象的每一点的斜率，即两个距离极近的点的。

上述三个问题，较为简单自然地将变化率与导数的概念及几何意义通过一个具体的例子连接起来，将原本枯燥繁琐的概念呈现在学生面前，也能够一定程度地让学生了解到导数研究的意义所在，看到了导数研究的内在作用，在学习时也会更有动力。

3. 总结与建议

问题驱动式教学的关键是鼓励学生通过对具体问题的探究思考而具体理解数学中的数学概念，但是在采用问题驱动式教学时，教师应当充分注意问题的设置，要在深入了解教授学生的平均理解水平后，合理地设计探究问题，问题的设置也要尽量做到有指示性、针对性，避免混淆概念，同时，问题驱动式教学并不是强调要学生解决具体的问题，而是从具体问题出发，引导学生得到对抽象的概念、定义等的具体认识。另外，在教授结束后教师应及时进行反思，改进教学中问题的设计，使其更加贴合学生的思维方式。再次，问题驱动式教学与学生的大量习题练习并不矛盾，数学的学习离不开运算，而抽象的概念在学生理解的情况下，通过必要的练习，才能够进一步得到强化，使学生真正地将知识转化为所掌握的技能。

还要注意一点，问题驱动式教学并不是适用于每一个类型的数学知识，如三角函数的概念，圆锥曲线的研究等知识则不是十分适合使用此教学法，因为教学的方法不应是一成不变的，而应该充分结合学生的知识水平与教学内容本身的抽象性，灵活使用。也就是说，教师应当充分理解教学内容，能够站在比学生更高的层次上分析教学内容的独立发展与内在联系，这样才能够探索出相对合适高效的教学方法，同时，在具体问题的设计上也能够更加地具有引导性，将抽象的概念通过具体的问题变现出来，帮助学生理解探究，使问题驱动式教学在中学数学教学中发挥其最大的效用。

参考文献：

[1]张奠宙,张荫南.新概念:用问题驱动的数学教学(续)[J].高等数学研究,2004(05):8-11.

[2]张奠宙,张荫南.新概念:用问题驱动的数学教学[J].高等数学研究,2004(03):8-10.

[3]滕吉红,黄晓英,袁博.问题驱动式教学模式在高等数学教学中的探索[J].高等教育研究学报,2012,35(04):89-90.

[4]程厚军.问题驱动课堂教学的理论、模式、实践探索、反思[J].中学数学,2012(07):18-20.