高考数学选择题和填空题压轴题的解题策略探讨

高考数学选择题和填空题压轴题的解题策略探讨

申玉娇

重庆市梁平红旗中学   405200

摘要：高考数学选择题和填空题压轴题通常是最具挑战性的题目，它们需要考生具备扎实的数学基础、灵活的思维和较强的解决问题的能力。这些题目分值高，难度大，是拉开考生分数差距的关键。因此，掌握选择题和填空题压轴题的解题策略至关重要。本文将探讨这类题目的特点、解题思路和方法，为考生提供一些实用的建议。

关键词：高考数学；选择题；填空题；压轴题；教学策略

题目1：

已知函数f(x)满足f(x+y) = f(x) + f(y)，且x > 0时，f(x) < 0，那么下列结论中正确的是：
A. f(0) = 0
B. f(x)是偶函数
C. |f(x)|在定义域上单调递增
D. 若∣f(x1)∣=∣f(x2)∣，则存在m>0，使x1=mx2

解题：

令x = y = 0，则由题意得f(0) = f(0) + f(0)，所以f(0) = 0，故A正确。

令x = -y，则由题意得f(0) = f(-y) + f(y)，又因为f(0) = 0，所以f(-y) = -f(y)，根据偶函数的定义，可得f(x)是奇函数，故B错误。

任取x1​2​，则x2​−x1​>0，由题意得f(x2​−x1​)<0，而f(x+y)=f(x)+f(y)，所以f(x2​)−f(x1​)=f[x1​+(x2​−x1​)]−f(x1​)=f(x1​)+f(x2​−x1​)−f(x1​)=f(x2​−x1​)<0，即f(x2​)0时，f(x)<0，所以∣f(x)∣=−f(x)单调递增，故C正确。

若∣f(x1​)∣=∣f(x2​)∣，则存在m>0，使∣f(x1​)∣=∣mx2​∣，即−f(x1​)=mf(x2​)，即−f(x1​)−mf(x2​)=0，所以[f(x1​)+mf(x2​)][f(x1​)−mf(x2​)]=0恒成立，即f(mx2​)=f[−(mx2​)]=−f[−(mx2​)]=−f(mx2​)恒成立，显然矛盾，故D错误。

答案：AC。

解析：

1. 理解问题背景：首先，我们需要清楚地理解题目的背景。题目涉及到函数f(x)的性质，以及与它相关的数学概念，如不等式和绝对值。

2. 识别已知条件和待解决问题：我们需要明确题目给出了哪些条件，以及需要解决什么问题。题目中给出了函数f(x + y) = f(x) + f(y)以及x > 0时f(x) < 0等条件，同时需要我们判断四个选项的正确性。

3. 分析条件与问题关系：我们需要分析已知条件与待解决问题之间的关系。通过观察我们可以发现，选项A和B直接涉及到函数的奇偶性和单调性，而选项C和D则涉及到绝对值和不等式。

4. 运用数学理论进行推理：我们可以运用相关的数学理论进行推理。例如，利用函数的加法性质，我们可以推出f(0) = 0，从而验证选项A的正确性。同时，我们也可以利用函数的单调性来判断选项C的正确性。

5. 得出结论：最后，根据推理的结果，我们可以得出结论，确定哪个选项是正确的。

总结来说，解决这道题目需要灵活运用函数的基本性质和相关的数学理论，同时还需要细心观察和严谨的逻辑推理能力。通过这样的解题思路，我们可以有效地解决这类问题。

题目2：

已知，若对任意，则（    ）

A. B. C. D.

【分析】将问题转换为，再结合画图求解．

【详解】由题意有：对任意的，有恒成立．

设，，

即的图像恒在的上方（可重合），如下图所示：

由图可知，，，或，，

故选：D．

解析：

在教育领域，题目设计是教学的重要组成部分，它不仅是对学生知识掌握程度的检验，更是对学生问题解决能力、创新思维和批判性思维的考察。题目设计的目的不仅是让学生解决问题，更重要的是让他们理解问题的本质，学会分析和处理问题的方法。首先，题目设计有助于提高学生的学习效果。通过设计具有挑战性的问题，教师可以引导学生主动思考，激发他们的求知欲和探索精神。学生在解决问题的过程中，需要运用所学知识进行分析、推理和判断，这有助于加深他们对知识的理解和掌握。同时，题目设计还可以帮助学生发现自己的学习盲点，及时调整学习策略，提高学习效率。其次，题目设计有助于培养学生的问题解决能力。学生在解决实际问题的过程中，需要学会收集信息、分析问题、制定解决方案并付诸实施。这一系列步骤不仅需要学生具备扎实的知识基础，还需要他们具备一定的实践能力和创新思维。通过题目设计，教师可以为学生提供更多的实际问题情境，帮助他们积累经验，提高问题解决的能力。再次，题目设计有助于培养学生的创新思维和批判性思维。创新思维和批判性思维是当代社会人才必备的素质。在设计问题的过程中，教师可以鼓励学生从不同角度思考问题，提出多样化的解决方案，这有助于培养学生的创新思维。同时，教师还可以通过评价和引导学生对问题的理解和分析，帮助学生学会批判性思维。最后，题目设计有助于促进教师与学生的交流与互动。好的题目设计不仅可以引发学生的思考和讨论，还可以为教师和学生提供交流和互动的平台。在设计问题的过程中，教师可以了解学生的想法和需求，从而更好地指导学生的学习；学生可以通过与教师的交流，获得更多的知识和经验。这种交流和互动有助于建立良好的师生关系，提高教学质量。

题目3：设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.

【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.

【详解】设，，由可得.

要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，

解得或.

①当时，，作出函数、的图象如下图所示：

此时函数只有两个零点，不合乎题意；

②当时，设函数的两个零点分别为、，

要使得函数至少有个零点，则，

所以，，解得；

③当时，，作出函数、图象如下图所示：

由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；

④当时，设函数的两个零点分别为、，

要使得函数至少有个零点，则，

可得，解得，此时.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

【解析】函数零点问题是高中数学函数与方程思想的基本具化表现形式，是培养高中生数学思维和解题思路的一种重要模型。该题又加入了最小函数的新定义，把分段函数知识融入其中，整合了函数知识，提升了思维高度。学生在解决改题时，不仅要先理解函数构成，其次还要正确的用分段形式表达，然后画出大致图像，最后数形结合准确表达“至少3个零点”的情况。整个题目的设计新颖但不怪异，紧贴新课标理念，注重考察学生的“分类讨论思想”、“转化化归思想”和“函数与方程思想”。

综上所述，掌握高考数学选择题和填空题压轴题的解题策略需要考生具备扎实的数学基础、灵活的思维和较强的解决问题的能力。通过加强基础知识的学习、多做真题和模拟题、培养数学思想方法、拓展解题思路和增强自信心等方面的努力，考生可以有效地提高解题能力和应对压轴题的挑战。

参考文献：

1. 郭思乐. 经典教学思想之“经典”再认识——亲历十余年数学课程与教材改革的视角[J]. 数学教育学报, 2015, 24(2): 1-9.

2. 王光明. 重视数学教学效率提高数学教学质量——“数学教学效率论”课题简介[J]. 数学教育学报, 2005, 14(3): 40-43.

3. 傅海伦, 贾冠军. 新课标下数学高考内容改革的研究与实践——兼论数学思想方法与思维能力[J]. 数学教育学报, 2017, 26(1): 25-30.

4. 李广修, 李新芳. 新课程高考数学试卷结构与内容分析——以全国卷为例[J]. 数学教育学报, 2018, 27(2): 79-84.