初中数学解题思维的培养

初中数学解题思维的培养

李志平

眉山市青神县初级中学校

随着新课程改革的进一步推进，“五项管理”和“双减”政策的实行，这对我们学校教育提出了更高的要求。在“减负不减质”的背景下，传统的题海战术就有点不适应当前教育的要求了，这就要求我们老师要在课堂上不但要完成知识点的讲解，最重要的要让学生学会数学解题思维或者说是数学建模，这样才能让学生在学生中达到事半功倍的效果。

一、数学思维的内涵

思维能力是培养学生各种能力的核心，数学思维是利用一定的方法过程通过固有的数学知识去解决各类数学问题的过程中所凭借的解题思想。加强培养学生们的数学思维有利于学生们能够更好地理解数学知识的内涵、有利于学生们提高思考能力，不仅仅能够使学生们在做题的过程中达到化繁为简、变难为易对的解析效果，还能够在一定程度上提高学生们的总体思考能力。

二、培养数学解题思维的方法

在平时的教学中，我们要让学生弄懂每个知识点，但更重要的是要培养学生的数学解题思维能力，这样才让学生真正掌握学习数学的正确方法。因此我在教学中始终坚持不断地探索学生解题思维能力的培养方法，并充分利用学校数学组集体备课这一个平台，认真学习成都七中资源，虚心向各位同仁学习、请教，初步形成了一套培养学生数学解题思维的方法。那就是以一个知识点为核心，初步学会 用这个知识去解决相关问题，最终与其它的知识点关联，形成多种多样的变化的题型。教师通过指导学生通过“练习--归类--总结--应用”不断的探索者，将知识融会贯通，从而建立起适合本校学生实际的数学思维能力。

现我就以“求锐角三角函数”为例，谈谈如何对学生进行数学解题思维的培养。我认真阅读教材，仔细分析各种题型并进行解法分类，通过分析整理，我认为在“图形结合”的前提下，我带领孩子们通过练习实践一起归纳出了求锐角三角函数的基本数学模型有以下五种：

（一）定义方法

这种题型是求锐角三角函数的众多题型中最基本的一种，学生们可以根据锐角三角函数的定义直接套公式就能求出答案。例如第1、2题：

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝1，则cosA的值是

2．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tanB的值是

（二）网格法

这类题是求锐角三角函数的题型中较定义法难度有所提高，其最主要的特点就是把要求的角或者图形放到网格中，网格中求锐角三角函数是数学中考中的常见题型，这类题又有三种类型：

（1）、在网格中图形直接给出的是直角三角形的，用勾股定理算出各边长后直接可以用定义法求解。如第3题。

3．在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的余弦值是．

（2）、在网格中的图形只是一个角，没有直角三角形的，这类题不能直接求这个角的三角函数，这时我们可以通过连线或者作角一边的垂线段来构造出格点直角三角形，再进行计算。如第4题，就可以连接AC，从而构造出RtABC，然后再根据定义法求解。

4．在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是．

（3）、在网格中的图形只是一个角，我们通过连线或者作角一边的垂线都无法构造出格点直角三角形，这类题难度较大，这时我们就连接AC，过点A作AD垂直于BC，垂足是D，再利用面积法进行计算。如第5题。

5．方格纸中有三个格点A、B、C，则sin∠ABC＝．

（三）参数法

在求锐角三角函数众多题中，有这样一类题，它只告诉图形几边的比值或者代数问题中比值，因为没有具体数值，很多学生不敢下笔，从而影响这类题的得分率。遇到这类题我们可以通过设参数将比值转换为确定的数（含有参数），这样就方便了计算。如第6题，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，求tanB的值为。我们可以画出Rt△ABC，然后根据sinA＝，设BC=5x，AB=13x，根据勾股定理求出AC=12x,进而根据定义法求出题tanB的值。再如第7题：

7．在菱形ABCD中，AB＝10，DE⊥AB，cosA＝，则tan∠BDE的值是．

（四）等角代换法

在求锐角三角函数的过程中，直接求某个角的三角函数值有困难的时候，我们可以通过平移、同角（或等角）的余角（或者补角）相等将要求的角转换为相等的另一个角，从而在另一个直角三角形中的角直接求解。如第8题：

8．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，AB＝5，则sin∠ACD＝，∠BCD的正切值为．

在做这道题时，如果直接求sin∠ACD和∠BCD的正切值计算量较大，如果将∠ACD转换成∠B，∠BCD转换成∠A，然后放在Rt△ABC中来求值，这样就简单多，正所谓“穷则变，变则通”，数学亦然。例如第9题。

9．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是．

（五）、构造法（构造直角三角形

）

在求锐角三角函数的众多题中，有类题虽然给出了三角函数值，但图中没有直角三角形，这个时候我们就要通过作辅助线（主要是作垂线）来构造直角三角形，这类题是求锐角三角形中最难的一类题了。如第10题：

10．已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tanB＝   ，AC上有一点E，满足AE：CE＝2：3，则tan∠ADE的值是．

像这类题，∠ADE不能直接放到直角三角形中，所以不能直接求tan∠ADE的值，这时我们可以过点E作EF垂直于DC于点F，从而将∠ADE转换成∠DEF从而进行计算。

通过这样的教学，学生通过具体动手做题，再进行归类、归纳，最后运用于实际中，这样学生就能做到做会一道题，会做一类题，并在头脑里建立求锐角三角形的数学模型，学生以后再遇到求锐角三角函数的问题时，他们就会迅速在进行分类，在头脑里搜索相应的解题方法，从而迅速完成解答。

在教学中我不断鼓励学生学会从不同的角度去观察、总结，从而养成良好的数学学习习惯，通过类似的教学方式，我让学生在进行各章学习时都通过“练习--归类--总结--应用”让他们形成相应的数学模型，进而形成良好的数学解题思维能力，这样就能大大缩短学生在数学这科的学习时间，同时又大大地提高学生的解题能力和速度，这样才能在各类考试中取得优异的成绩，从而达到“减负不减质”的要求。