基于Matlab二维图像插值算法的桩基入岩标高预估计算

基于Matlab二维图像插值算法的桩基入岩标高预估计算

罗振,王春光,袁泉,苟章铭,余祖海

中建八局西南建设工程有限公司 成都 610000

摘要：在实际工程实践中，传统桩基入岩标高采取逐点进行线性插值手算的方法费时费力，其计算量巨大。以绵阳3011b零部件试验厂房施工项目的桩基为例，通过对插值算法及二维图像插值算法的介绍，基于现代成熟的矩阵运算工具Matlab中已有成熟的二维图像插值算法批量对桩基入岩标高进行一次批量计算，节省了大量运算时间，大大地提高了工作效率。

关键词：插值；Matlab；二维图像插值算法；桩基；入岩标高

0.引言

插值问题在数学发展的历史上，由来已久。早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后，I.牛顿，J.-L.拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的[1]。

在桩基施工中，我们往往需要根据事先已勘测出的已有勘孔点的勘孔底标高、勘孔入岩标高，确定勘孔附近桩基的桩底标高及桩基的入岩标高。传统的计算任一桩基桩底标高及入岩标高方法是根据桩基附近勘孔的岩层地勘剖面图、勘孔及桩基平面布置图，通过勘孔及桩基平面布置图确立桩基与附近最近几个勘孔的距离，通过桩基附近勘孔的岩层地勘剖面图获取勘孔的入岩标高，通过勘孔及桩基的平面布置图获取桩基与勘孔的相对水平距离，在已知桩基附近勘孔标高与桩基与勘孔的相对水平距离的情况下，通过线性插值可以预估计算桩基的入岩标高。   

1.插值的含义及常用插值算法

1.1 插值问题的概念及含义

插值是一种重要的数学计算方法，其广泛地被用于各类工程数据的处理中。在实际工程中，我们在进行数据分析和数据处理时，时常会遇到一类根据已知函数点进行数据及模型的处理和分析，这种通过数学手段来根据系列已知数据点来猜测未知点的各类方法被统称为插值算法。

最简单常见的插值算法为针对只有一个自变量的线性插值法。一维变量的线性插值法的实现思路为使用连接两个已知量的直线来确定在这两个已知量之间的一个未知量的值，其数学表达式如式（1）所示：

图1展示了一维变量线性插值的过程，其对应的线性插值多项式为式（2），式中。和为已知点，如图1所示，，为根据式2线性插值计算所对应的因变量值。其实，即使不在到之间，这个公式也是成立的。在这种情况下，这种方法叫作线性外插。

1.2 插值函数的概念定义

对于只有函数自变量只有一个情况的情况，若已知某函数有n个已知数据点，若存在一简单函数，使成立。则称为的插值函数，点为插值节点，则已知插值节点求的方法即为插值法，如图2所示。

2.二维图像插值算法的原理及Matlab实现

2.1Matlab中插值问题的实现

Matlab将插值问题分为了三大类，一维数据插值、网格数据插值及散点插值，其中，网格数据由形成网格的等间距点上的值或测量值组成。网格数据应用于许多领域，如气象学、测绘学和医学成像。在这些领域，经常以固定空间间隔取测量值，且可能随时间进行测量。

2.2二维图像插值算法的原理及Matlab实现

二维插值，简单来说就是节点二维、插值函数二维，即形如这类对于函数自变量有两个的插值。对于函数自变量有两个的二维插值算法，其常用于数字图像处理，因而我们常将涉及两个自变量的二维变量插值算法称之为二维图像插值算法。

常见的二维图像插值算法可分为两类：自适应和非自适应。自适应算法指的是根据插值的内容来改变（尖锐的边缘或者是平滑的纹理），自适应算法一般为许可软件中的许多专有算法，例如：Qimage，PhotoZoom Pro和正版Fractals，该类算法通常是对于某类专有性问题进行插值计算，不具备很好的普适性。而非自适应的方法指的是对所有的像素点都进行同样插值计算模式的算法，具备良好的普适性。

3.基于Matlab的桩基入岩标高的预估计算

3.1桩基入岩标高预估计算算法流程

桩基础施工前需要对桩基础所处区域的岩层及土质状况进行勘察，通常会在桩基础附近施工区域钻取一定的勘察孔来勘察桩基施工区域的岩层及土质状况。通过对桩基附近施工区域勘孔的地质勘测，可以确立勘孔处岩层分布情况，并进一步确立桩基附近勘孔处的入岩标高。

基于已有的勘孔及桩基的平面布置图设计文件，可以从其CAD图纸中提取勘孔及桩基在世界坐标系的位置坐标，将勘孔坐标表示为,变量表示勘孔在CAD图中世界坐标系的横向轴坐标，变量表示基于CAD平面布置图中世界坐标系的纵向轴坐标。令

表示桩基施工区域内任一点的入岩标高，这样就建立了以，为自变量的多元函数关系式，假定待计算桩基所处区域勘孔数为，待计算入岩标高的桩基数为，令勘孔的坐标及入岩标高为，桩基坐标及入岩标高为，则桩基入岩标高的预估计算问题变为一个已知有个插值节点使得，求解桩基插值点处的插值

3.2桩基入岩标高预估计算的Matlab实现

根据3.1得到的桩基及勘孔坐标是一堆无序无规则排列的散点数组，对于这类无序的散点数组对进行插值，可利用Matlab中的函数，该函数可以对二维或者三维散点数据进行插值计算，其语法形式为式3所示。

该函数对于已知数据点对不要求有序排列，尤其对于试验中随机无规律采集的数据进行插值具备很好的效果，十分适应于实现3.1算法思路中桩基入岩标高的预估计算。函数在Matlab中的语法形式如式3所示。

3.3桩基入岩标高预估计算的Matlab运算结果及分析

为了实际演示桩基入岩标高在Matlab中批量估算，选取了53个已知入岩标高、及x、y坐标的勘孔点作为插值节点，其部分数据如表X所示。选取了103根已知x、y坐标值的桩基作为插值点，其部分数据如表X所示。通过以下代码可以实现对103根桩基的入岩标高的预估。

4.结论

(1)插值在数学史上是一类历史悠久又比较重要的数学运算，任何利用已知散点数据去预测散点所处区间范围内任一点未知数据的算法都可被称之为插值算法。

(2)二维图像插值算法是一种针对多元变量及空间散点的算法，可以对含多个变量的函数或者三维散点进行插值计算，在已知桩基附近勘孔坐标、入岩标高及桩基自身平面位置坐标的情况下去预估桩基入岩标高实则为二维插值运算。

(3)通过Matlab的二维图像插值算法可以很好地解决桩基入岩标高的预估计算问题，该问题通过其自身的算法函数可以快速批量一次性计算出所有桩基的预估入岩标高，告别了传统手算的低效，从而大大地提高了工作效率。

参考文献

[1]ion-filtration reconstruction algorithm as well as numerical and practical experiments[J]. Appl Radiat Isotopes, 2007, 65: 1041-1047.

[2]张慧滔, 陈明, 张朋. 一种新的针对感兴趣区域的CT扫描模式及其重建公式[J]. 自然科学进展, 2007, 17(11): 1589-1594.

[3]Zhang HT, Chen M, Zhang P. A new CT scanning mode and reconstruction algorithm for ROI imaging[J]. Progress in Natural Science, 2007, 17(11): 1589-1594.