以静制动巧思妙用 — 寻找解析几何动态问题中的隐圆

以静制动巧思妙用 — 寻找解析几何动态问题中的隐圆

王林

（甘肃省张掖市高台县高台县第一中学 734300）

隐圆问题近几年在各地模考和高考的填空题和解答题中都出现过，难度为中、高档题．在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中的，要通过分析、转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆”问题．

1.由动点与两定点的连线互相垂直直接联想到圆

例1.已知圆C：和两点A(－m,0)，B(m,0)，且m>0.若圆C上存在一点P，使得∠APB＝90°，求m的最大值。

解析　如图所示，圆C：的半径为1，|OC|＝5，所以圆C上的点到点O距离的最大值为6，最小值为4，由∠APB＝90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，连接OP，故|PO|＝|AB|＝m，故4≤m≤6.所以m的最大值是6.

例2.已知椭圆C：，点，分别为椭圆的左、右焦点．

(1)求椭圆C的短轴长和点，的坐标；

(2)设为椭圆C上一点，且在第一象限内，直线与y轴相交于点Q，若点在以PQ为直径的圆的外部，求的取值范围．

(1)将椭圆化为标准方程为，则，，，

椭圆的短轴长为2，；

(2)显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，则，

联立，消去可得，，

则恒成立，依题意，，又，，即，，又，则，

，即，又，则实数的取值范围为.

评注：以P为顶点的张角∠APB为直角时，P在以AB为直径的圆上；以P为顶点的张角∠APB为锐角时，P在以AB为直径的圆外；以P为顶点的张角∠APB为钝角时，P在以AB为直径的圆内。除了直径所对圆周角为直角外，还有圆内接四边形对角互补，联想到这些性质便于挖掘出隐圆，快速解题。

2.由动点到两个定点的距离之比为常数（不等于0和1）联想到圆

例3.在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2＝1交x轴于A，B两点，且点A在点B的左侧，若直线x＋y＋m＝0上存在点P，使得|PA|＝2|PB|，求m的取值范围．

解析　由题意得A(－1,0)，B(1,0)，设P(x，y)，则由|PA|＝2|PB|，得＝2，

即＋y2＝，因此圆＋y2＝与直线x＋y＋m＝0有交点，即 ≤，解得－≤m≤1.故m的取值范围为.

例4.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：和点，点B（1，1），M为圆O上动点，求2|MA|+|MB|的最小值

解析：设,,由题意可知，圆是关于点

A,C的阿波罗尼斯圆，且，设,则有，整理可得，比较两个方程可得，

，故

所以当M位于图中的位置时，

评注:公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足|PA|＝λ|PB|，（λ>0），当λ=1时，动点P的轨迹是直线；当时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆，这个“隐圆”经常出现在解析几何中，值得我们深入了解。

3.由两定点A，B，动点P满足·＝λ，联想到圆

例5.已知等边三角形ABC的边长为2，点P在线段AC上，若满足·－2λ＋1＝0的点P恰有两个，则实数λ的取值范围是________．

解析　如图，以AB的中点O为坐标原点，AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设P(x，y)，则·－2λ＋1＝0，即为(－1－x)(1－x)＋y2－2λ＋1＝0，化简得x2＋y2＝2λ(λ>0)，故所有满足·－2λ＋1＝0的点P在以O为圆心，为半径的圆上．过点O作OM⊥AC，垂足为点M，由题意知，线段AC与圆x2＋y2＝2λ有两个交点，所以|OM|<≤|OA|，即<≤1，解得<λ≤.

评注：从本例可以看出，有时“隐圆”会隐藏在题中欲求点的轨迹中，求出这个圆的方程，原问题就引刃而解了。

4.由两定点A，B，动点P满足|PA|2＋|PB|2是定值，联想到圆

例6.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0,2)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2＝10，则实数a的取值范围是________．

【解析】设M(x，y)，由|MA|2＋|MO|2＝10，可得x2＋(y－1)2＝4，∴M点在圆x2＋(y－1)2＝4上，故圆和圆相交或相切，∴1，∴

评注：从本题的解答过程中可以看出，本题的本质是在考查我们圆与圆的位置关系，但必须先识破题中的“隐圆”。

相信通过以上几个例子的分析学习，学生会发现这类题目虽没有直接给出有关圆方面的信息，但通过分析和转换，最终都可以利用圆的知识求解，这类题目构思巧妙，综合性强，往往有“不识庐山真面目”之感，但是你拨开题面后，又会有“柳暗花明又一村”之叹。解析几何中这样的题目很多，对动点轨迹往往都是只字不提，甚至连“动点”这样的关键词都不出现，而只是提供一些“安静”的点，位置，距离或者数量关系，但在“安静”的表现后面缺隐藏着点的运动变化，我们若能化“隐形”为“显性”，就找到了此类问题的核心所在。其实不仅圆有“隐性”轨迹，其他圆锥曲线也有类似问题。在平时的教学中，我们突出重视“轨迹思想”和“轨迹意识”的培养和训练，以提升学生解决该类问题的能力。

作者简介：姓名：王林（1988年1月），性别：男，民族：汉，籍贯：甘肃民乐，学历：大学，职称:一级教师

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