非线性有限元法综述

非线性有限元法综述

詹维

中国市政工程西北设计研究院有限公司武汉分公司 湖北武汉430056

摘要：本文针对非线性有限元法进行综述，分别从UL列式及TL列式、CR列式、几何精确梁、壳理论三个方面介绍其分析思路和发展动态，旨在为相关学者提供一些思路参考。

关键词：几何非线性；UL列式；TL列式；CR列式；几何精确梁、壳理论

1引言

几何非线性是由于位置改变引起了结构非线性响应。进行结构几何非线性分析，实质上就是要得到结构真实的变形与受力情况。有限元方法是进行结构几何非线性分析的最成熟的方法，也是应用最广泛的分析方法.

2非线性有限元法研究思路

非线性有限元法主要指UL列式法、TL列式法、CR列式法和几何精确梁、壳理论等，它们有着基本相同的思路，即利用虚功原理建立平衡方程。方程中充分考虑了非线性因素对结构应变和应力的影响，也就是将线性应变和非线性应变都代入到表达式中，然后确定单元的本构关系并选取合适的形函数，导出单元对应的弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵，再选取合适的增量-迭代算法进行求解，由此就完成了结构的整个几何非线性分析求解过程。

非线性有限元法将结构的变形过程划分为三个主要阶段：C0状态、C1状态和C2状态，如图1所示。

图1 单元的变形

C0状态是单元的初始状态，C1状态是单元受力变形后上一次处于平衡的状态；C2状态是单元的当前状态，也就是所求的状态。

2.1UL法和TL法研究思路

UL法和TL法为几何非线性问题提供了新的分析思路。这两种方法本质上没有很大区别，但是方程建立的参考状态有所不同。完全拉格朗日法(TL法)是以结构变形前C0状态为参考建立平衡方程的，考虑结构从C0状态到C2状态之间的变形；而更新的拉格朗日法(UL法)以结构变形后C1状态为参考建立平衡方程的[2]，考虑结构从C1状态到C2状态之间的变形。两种拉格朗日法的主要形式如下：

（1）TL列式

（2）UL列式

从上面两式可以看出：TL法和UL法的另一个不同是TL法的增量平衡方程中考虑了初位移矩阵的影响，而UL法则忽略了其影响，只考虑了弹性刚度矩阵和初应力矩阵的影响。实质上就是TL法考虑了所有的线性项和非线性项，而UL法则忽略了高阶非线性项。因此UL法相对于TL法，列式更加简洁，计算效率就较高，但是需要划分较多的迭代步，所以在处理大变形问题时可能会出现不收敛的情况。

完全拉格朗日法和更新拉格朗日法是较早被提出的几何非线性分析方法，被各国学者广泛研究与应用。Bathe[1]发展了UL列式和TL列式，并应用到三维梁单元上，同时证明了两种拉格朗日法获得的结果基本一致，但是TL法在计算上更加有效。之后诸多学者在前人的基础上发展和改进了UL法，探讨了UL法和TL法在不同结构形式上的应用情况，论证了UL法和TL法的广泛适用性，并应用在不同情况下的不同单元上。同时指出：UL法对于大转动、大变形问题较TL法更加适用，但需要控制好加载步长[3]；而TL法对于中等程度的转动问题较适用，但其在计算时不受加载步长大小的影响[4]。

基于UL法和TL法推导的各种单元，学者们将非线性分析由单一的结构扩至整桥结构上，同时考虑更加复杂的工况等因素，也将几何非线性问题由静力分析推至动力分析。目前，UL法和TL法已经发展的较为成熟，并被应用于多种商业软件及程序的开发。

2.2 CR列式法研究思路

UL法和TL法虽然有其优越性，但同样存在其不足之处，例如TL法的计算效率可能差强人意；而UL法计算效率较好，但在处理有些大变形问题时可能会出现不收敛现象。针对这些不足，有学者提出并发展了一种新的几何非线性分析方法，即CR（Co-Rotational）列式法。CR列式法建立一个共旋坐标系，此坐标系是固定于单元的，并随着单元一起运动；同时CR列式法将单元变形中的刚体位移与自然变形进行区分，在计算节点力时扣除刚体位移的影响[5]。在前人的基础上，许多学者将CR列式法应用于不同的结构形式上并提出相应的改进方法或者改进单元。并针对传统的CR列式中的项进行改进以增进此算法的计算准确性[6]。Yi-Qun Tang等人[7]基于共旋方法提出一种新的曲梁单元，可以用于框架结构的几何非线性分析，但是此种曲梁单元只适应于小应变问题。

通过对相关文献的整合分析可以发现CR列式法在处理大变形小应变问题上是十分有效的，而且CR列式法突出了刚体位移的重要性，但它实质上是利用单元变形来计算单元内力的。

2.3 几何精确梁、壳理论研究思路

几何精确梁、壳理论是一种可以用来描述单元变形的理论，它通过转动张量或者选取合适的坐标系去描述单元的变形，以获得单元真实的状态。1985年，有学者提出并发展了几何精确梁理论，之后又验证了几何精确梁理论在解决非线性问题上的适用性和正确性，并给出计算方法。很多学者基于几何精确梁理论，发展了几何精确壳理论。详细阐述如何建立应力合成几何精确壳模型。发展了几何精确膜单元的自适应建模方法。引入球坐标系描述转动矢量，提出新的几何精确壳单元建模方式

[8]。利用几何精确梁理论发展一种非线性梁单元，并发展了一种退化壳单元和一种应力合成壳单元[9]。

几何精确梁、壳理论在描述单元变形时，考虑了剪切变形的影响，选取精确的表达式去描述单元的位移—应变关系，因此它能够准确地描述单元的空间状态和空间变形。但是它需要选取合适的插值函数或建模方式去将转动矢量参数化。

结语

UL列式、TL列式、CR列式以及几何精确梁、壳理论的发展共同促进了非线性有限元方法的发展，但它们的分析思路有所不同。学者在进行结构几何非线性分析时，可以根据具体情况选择合适的方法进行研究。

参考文献

[1] Bathe K J, Saunders H. Finite element procedures in engineering analysis [J]. Journal of Pressure Vessel Technology, 1982, 106(4)

[2]项海帆.高等桥梁结构理论[M].人民交通出版社,2001.

[3]陈栋,朱慈勉.TL法和UL法对几何非线性刚架问题的适用性[J].陕西建筑,2000(01)

[4]朱慈勉,吴维华,陈栋.TL法和UL法对刚架弹性大位移分析的适用性[J].力学季刊,2001(01)

[5]李云飞.基于刚体准则的杆系结构静力几何非线性研究[D].重庆大学,2017.

[6]马玉全.改进CR列式法及在几何非线性分析中的应用[J].科学技术与工程,2010,10(30)

[7]Yi-Qun Tang, Er-Feng Du, Jing-Quan Wang, et al. A co-rotational curved beam element for geometrically nonlinear analysis of framed structures [J]. Structures, 2020, 27.

[8]时兵,王介龙,梁煜.一种新型几何精确壳单元建模方法与应用研究[C]//第八届中国航空学会青年科技论坛论文集.2018.

[9]王欢.基于SiPESC的梁壳结构非线性有限元分析[D].大连理工大学,2018.