投影变形对坐标转换精度的影响

投影变形对坐标转换精度的影响

熊奎允

江南机电设计研究所   贵州省贵阳市    550000

摘要：基准转换是指不同坐标系间椭球基准的转换。不同坐标系由于采用的椭球参数、定位、定向、尺度等参数的不同而存在基准的差异, 为了在不同椭球基准的坐标系之间建立联系必须进行基准转换。文中结合实际算例, 分析研究不同坐标系间基准转换的精度影响因素, 目的在于指导实际生产应用。

关键词：基准变换;坐标转换;投影变形;独立坐标系;转换参数;

本文从转换关系、公共点选取、转换参数计算、投影变形等多个方面项目论述了影响不同坐标系间基准转换精度的因素, 并通过对实际应用效果的分析阐述了各个因素对最终转换结果的影响系数。

1 几种近似坐标变换方法

1.1 相似变换

在局部范围内1954年北京坐标系和1980西安坐标系下的两种平面直角坐标x、y值在1 m级的精度上只差一个常数,其m级以下部分可以看作在这个局部区域内的两坐标系统间存在着某种旋转和尺度伸缩,因此可利用平面相似变换公式来描述上述两种平面坐标系统的变换关系。

设Xi、Yi为原坐标系坐标,xi、yi为同一点的待变换坐标系坐标,X0、Y0为坐标变换平移参数,为尺度比参数,m为旋转参数。依据相似变换的一般公式:

得到公共点间的两坐标系坐标之差

如令=m cos1,=m sin,则上式可写为:

依据上式在变换区域内均匀选取若干公共点,以公共点的坐标差xi、yi作为“观测量”,以xi、yi的修正值Vxi、Vyi在∑(Vxi2+Vyi2)=min(最小二乘法)的条件下列出误差方程和法方程求解参数X0、Y0、、,进而求的转换后待定点在新坐标系中的平面直角坐标。

1.2 正形变换

正形变换的思路是先进行第一次近似变换,即均匀选取控制网中两到三个公共点按相似变换公式求出X0、Y0、、四个转换参数,对控制网全体实行变换,得到控制点在新坐标系下坐标的近似值xi'、yi',然后根据公共点的xi'、yi'与在新坐标系下坐标xi、yi的差异,按正形变换理论导出第二次变换公式。第二次变换的目的是要使得经第一次相似变换后得到的公共点的差异值进一步减小,由于正形变换的公式导出比较复杂,在此不再赘述。

1.3 仿射变换

如设控制点在原坐标系下的坐标为x'、y',转换后新坐标系下的坐标为X、Y,则仿射变换公式为:

决定上述6个变换元素需要三个公共点,在实际进行仿射变换时,首先也要进行第一次近似变换,即根据两到三个点的坐标按相似变换公式,使得原坐标系下公共点的坐标转换为相应的x'、y',然后每三个公共点组成一个“网眼”三角形,计算每个公共点的坐标变换间隙x、y。

而“网眼”内任意点的间隙为其所在三角形顶点的坐标变换间隙的加"权"平均值,即:

“权”Fi按下述公式计算:

最后得到公共点与非公共点在新坐标系下的坐标:

2 上述几种坐标变换方法的特点

相似变换只是将控制网经过整体平移、旋转、尺度缩放到新坐标系统下,同时相似变换以公共点的坐标差xi、yi作为“观测量”,以xi、yi的修正值Vxi、Vyi列出误差方程,在最小二乘条件下求解变换参数。由平差理论可知,相似变换中公共点转换后坐标没有完全重合,公共点间存有间隙。正形变换其实质是对相似变换的优化处理,其公共点间的间隙虽然比相似变换要小得多,但仍有间隙存在。由仿射变换的计算方法可知:经仿射变换后,公共点上的间隙完全消除,非公共点间的间隙采用加“权”方法计算,其间隙在很大程度上得以消除,但仍有间隙存在。

3 确定转换关系

(1) 椭球定位方式:参心坐标系是为了研究局部球面形状, 在使地面测量数据归算至椭球的各项改正数最小的原则下, 使局部区域的大地水准面最为吻合的椭球所建立的坐标系。地心坐标系所定义的椭球中心和地球质心重合, 且椭球定位与全球大地水准面最为密合。其参考框架中不仅包括几何参数, 还包括物理参数。

(2) 实现技术:参心坐标系采用传统的大地测量手段, 地面基线扩展和传递测量标志点之间的距离、方向、通过平差的方法得到各点相对于起始点的位置, 由此确定各点在参心系下的坐标。地心坐标系是通过空间大地测量观测技术、获得各测站在国际地球参考框架下的地心坐标。

(3) 原点:参心坐标系原点与地球质量中心有较大的偏差, 地心坐标系原点则位于地球质量中心, 地心坐标系整个空间测绘体系和定点运行都统一指向质心, 给数据统一性带来极大的方便。

(4) 精度改善:原有参心坐标系的成果由于当时客观条件的限制, 缺乏高精度的外部控制, 长距离精度较低。

(5)长度变形:设实地测得两点间的平距为S, 用坐标反算求得两点间的距离D,二者之差为△S, 为便于施工放样,要求△S应不大于某一数值。△S即为长度变形。

4平面四参数转换模型

平面直角坐标系是城市常使用的坐标系, 平面直角坐标系在定义时使用了不同的参考椭球、投影面与中央子午线, 从而产生了投影变形的差异。在坐标转换时, 为了保证转换精度, 应考虑投影变形与转换模型因素的影响。坐标转换的经典模型有二维七参数、三维七参数、平面四参数、多项式拟合等转换模型, 其中二维七参数、三维七参数转换模型可利用公共点的二维或三维大地坐标直接进行转换, 不用考虑投影变形的影响;而平面四参数、多项式拟合模型属二维平面直角坐标系转换, 与投影变形的差异存在一定关系。在利用平面转换模型进行坐标转换时, 为了分析转换精度, 本文以常用的平面四参数转换模型为例, 在坐标系长度投影变形值不同时, 对坐标转换精度产生的影响进行了分析。

平面四参数转换模型是基于笛卡尔直角坐标系而建立起来的一种坐标变换数学模型, 是通过两个坐标系的平移、旋转和尺度变化来实现的, 又称相似变换, 至少需要两个公共点。

在控制点经过坐标转换后, 应根据坐标转换模型计算的公共点的残差中误差来评估坐标转换的精度。如在两个坐标系统下有n个公共点,

5投影变形的差异对坐标转换结果影响分析

控制点在不同坐标系中的边长投影变形值与中央经线、投影面有直接关系。

边长投影变形值由两部分组成ΔS, ΔH, 其中ΔH是一个比值, 反映在平面直角坐标转换中就是一个尺度参数, 该参数反映在平面直角坐标转换模型中就是尺度参数的一部分, 也就是说投影面差异产生的边长变形对坐标转换带来的系统误差已被平面直角坐标转换模型中的尺度参数消除, 因此公共点在两套坐标系中因投影面不同所产生的边长投影变形对坐标转换的精度几乎不会产生影响;但ΔS则不同, 中央经线的差异造成边长变形所产生的系统误差, 不能用某一个平均尺度参数来替代, 在平面直角坐标转换中, 两套坐标系中央经线不同时, 对坐标转换的精度会产生较大影响, 中央经线相差越大, 转换精度越低。

结束语

中央经线、投影面均可对投影变形产生影响, 但在平面直角坐标转换时对转换精度的影响却不同, 前者对转换精度影响较大, 后者对转换精度几乎无影响。遵循这一规律, 在实际平面直角坐标转换中, 只要保证公共点在两套平面直角坐标系中的中央经线相同, 即可获得理想的转换效果, 不必担心因投影面的差异而降低转换精度。

参考文献

[1]中华人民共和国住房和城乡建设部.CJJ/T 8-2011城市测量规范[S].北京:中国建筑工业出版社, 2011.

[2]陈永立, 张海明.城市高精度GPS网与CGCS2000的转换方法[J].海洋测绘, 2012, 32 (6) :53-56.