一类带有阈值捕获功能型反应函数的捕食-食饵系统

一类带有阈值捕获功能型反应函数的捕食-食饵系统

的中心稳定性分析

刘炜

（湖北警官学院 湖北武汉 430034）

摘要 人与自然的和谐发展是人类文明发展的前提，地球的生态环境需要人类在发展经济的同时予以保护。我们将种群生态学和经济效益、动力系统相关知识融合，建立了一类带有阈值捕获功能型反应函数的捕食-食饵系统模型，运用动力系统稳定性、分支理论、中心焦点理论分析模型，计算合理阈值。科学的计算结果可以指导人类在生产活动中最大限度地保护生态平衡，达到可持续发展的目的。

关键字 捕食-食饵系统；阈值捕获；中心稳定性

1 引言

随着人类社会的快速发展，传染病、温室效应、物种灭绝等现象让我们意识到这个我们赖以生存的地球环境正在不断恶化，生态系统正遭受着强大的冲击。我们知道，人类与物种之间，人类与环境之间，物种之间等存在着密切的联系，这种联系需要的是一种良性平衡地发展，而非以牺牲环境为代价发展人类经济，如何让各物种、人类、环境之间建立起可持续的平衡发展关系就是我们一直不断探索的问题。

目前，很多研究上述问题的生态学问题都借助了数学的思想方法，通过数学建模，将生物体与周围环境、人类经济活动共同组成一个“动力系统”，运用相关分析方法得到一些结论和数据，从而科学地指导人类活动。种群生态学中有一个两种群的捕食-食饵模型（Lotka-Volterra模型）。我们的研究就是基于该模型，建立了一个带有阈值捕获功能型反应函数的捕食-食饵系统，在前序根据Liapunov函数证明稳定性并讨论了Hopf分支方向后，本文继续研究其中心稳定性。

2 模型的建立及相关结论

以B.Ghosh在2014年研究的一类带有生态阈值和经济共同制约的捕食-食饵模型为基础，加入一个阈值捕获函数，可以建立一个带有阈值捕获功能型反应函数的微分代数生态经济系统，在前序的研究中，已经利用微分代数方程定义的动力系统中平衡点及其局部稳定性理论分析了上述模型的稳定性，并利用Hopf分支定理讨论了Hopf分支方向。

结合带有对捕食者捕获的ratio-dependent捕食-食饵和模型Net Economic Revenue=Total Revenue - Total Cost经济学原理，得到一个带有捕获的捕食-食饵生态经济系统：

其中，和表示食饵和捕食者在时间时的密度，其中为正常数，分别代表食饵和捕食者两种群的密度，指对捕食者的捕获能力，表示在时间捕获与捕食者密度成正比关系。当时，捕捞光滑增长，直到达到，代表时间时的捕获效率，表示单位重量的捕获效益，表示单位捕获成本，表示经济效益，均为正参数。

为简便，使用变换得到模型：

                     （1）

其中，

根据动力系统中平衡点及其局部稳定性的相关理论得到系统（1）的平衡点

，，

阈值，

其中，.

据赫尔微玆判据有如下定理：

(1)当时，系统（1）的正平衡点是不稳定的；

(2)当时，系统（1）的正平衡点是渐进稳定的；

(3)当时，系统（1）的正平衡点是一个非双曲平衡点。

    再根据Hopf分支定理，有以下结论：

对于系统（1），存在和两个的足够小邻域，且.

(i)当时，排斥中的所有点，即是不稳定的。

(ii)当时，在（的闭包）中至少存在一个周期解，其中一个周期解排斥中所由点，另一个周期解（可能是同一个）排斥中的所有点，即是局部稳定的。

3 中心稳定性

下面我们将通过刑事级数判别法来研究系统（1）的中心焦点问题。

首先，令，上文中变换的参数系统

变为：

将该系统简化后得，

                    （2）

其中

选取李雅普洛夫函数，其中和分别表示关于的三阶和四阶齐次多项式。计算沿系统（2）轨道在处的导数，

    令此方程关于的三阶齐次多项式为零，则有，

再令，得到，

其中是的傅里叶级数。

故一定存在，当且仅当，方程等价于

因此得到

和

同理，令方程关于的四阶齐次多项式为零，则有，一定存在，当且仅当

但是，

故给出以下修正，

其中

因此有，

故，可以得到的存在性，其中

综上所述，我们得到系统（1）的平衡点是不稳定焦点。

4 结语

本文在之前对模型稳定性、Hopf分支研究的结论基础上，继续了中心焦点问题的研究，应用形式级数判别法得到平衡点是不稳定焦点的结论，是对该模型研究的补充和完善。通过系统的研究，我们得到合理阈值，只要将实际数据带入模型中，即可得出相应阈值。这些结论对实际生活生产有这重要的意义，只有恰当的经济指标制定才能保证整体系统的稳定性，人与自然的和谐可持续发展是需要控制在一定范围内的。

对于改模型，我们还进行了数值仿真，证实了结果的准确性，由于篇幅限制就不在这里呈现结论。地球的良好发展需要所有物种的共同努力，人类文明的发展必是地球的最重要部分，因此，通过科学地方法让人与自然实现可持续发展才是我们想要的未来。

参考文献

[1] 廖晓昕,稳定性的数学理论及应用.华中师范大学出版社,湖北,2006.

[2] Jorge Rebaza,”Dynamics of prey threshold harvesting and refuge”,

Journal of Computation and Applied Mathematics,2012,236,1743-1752.

[3] 徐辉,李年蛟,带有收获项的捕食模型的稳定性及Hopf分支.池州学院学报,池州，33(3):13-16,2019.

[4] 王蓉等,一类带有恐惧效应的捕食-食饵模型的定性分析,工程数学学报,西安,34(4):439-450,2019.

基金项目：湖北省教育厅科学技术研究计划指导性项目，时滞状态下带有阈值捕获功能型反应函数的捕食-食饵系统的稳定性和Hopf分支研究（B2020187）

作者简介：

刘炜，女，讲师，1989年10月，理学硕士，高等数学教学工作，研究方向为常微分方程、动力系统、高等数学教育。