寻源——在教材中升华

寻源——在教材中升华

朱容娟

镇江市外国语学校

近几年的中考题，设计巧妙，蕴涵着丰富的数学知识，很多数学中考题的命制基于课标、源于教材，我们可以在教材例题、习题中寻找试题架构的来源，通过类比，加工改造或者扩展而得到，是中考命题的主要趋势。此类试题成为近几年来中考数学命制的趋势. 这类试题能让学生在平时的学习中以教材为本，立足教材，遵循学生的认知规律，能较好地提升学生的探究能力提高学生的数学素养，强化学生的数学思维品质。接下来我以2021年镇江市中考数学第28题为素材引入课堂教学，分析阐述。

一．提出问题：学会阅读，寻找题眼

【问题1】如图1，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=90°，AB、FE、DC为铅直方向的边，AF、ED、BC为水平的边，点E在AB、CD之间，且在AF、BC之间，我们称这样的图形为“L图形”，记作“L图形ABCDEF”.   若直线将L图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该L图形的面积平分线.

【活动】小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2，将这个L图形分成矩形AGEF、矩形GBCD，这两个矩形的对称中心的连线O1O2是面积平分线.

请用无jia刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）.

【教学片段1】师：通过阅读我们可以想到那些已学知识点？

生1：“任意平行四边形都是中心对称图形”，

生2：“对角线的交点为对称中心”，

生3：“过对称中心的直线可以平分中心对称图形的面积”

生4 ：我发现图2中的L图形被分成两个矩形，即两个中心对成图形。

生5：我发现上面的矩形被直线O1O2分成面积相等的左右两部分，同理可得下面矩形也可以分成面积相等的两部分，因此直线O1O2就将L图形面积分成相等的两部分。.........

师：这道L图形的面积平分的方法在八下数学中心对称图形的性质中我们掌握了，同时在八年级下册课本91页的习题第5题中，我们也能找到本题的来源，

5.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,,过点O的直线分别与AD,BC相交于点E,F.写出图中关于点O成中心对称的的三角形，四边形.

这样的开放题我们可以得到△AOE与△COF,△DOE 与 △COF，四边形ABFE与四边形CDEF等都关于点O成中心对称，像这样的开放题我们也可以进行追问，哪些图形的周长，面积相等呢？

因此我们发现很多中考题其实来源于课本，习题进行转化，类比。我们阅读时要明确出题人的出题意图，找到解决问题的题眼。 从【活动】中我们就可以找到解决问题的题眼，经过对称中心的直线平分该中新对称图形的面积。 因此结合题意，解决问题的关键就是寻找对称中心。

生6：可以将L图形分成左右两个矩形，找到矩形的对称中心，构建直线即可。

生7：也可以将L图形补成大小两个矩形，同样找到对称中心，构建直线即可。

师：这几位同学的回答都很精彩，都抓住了问题的本质，采用不同的方法，围绕过对称中心的直线将平分中心对称图形的面积，解决问题。

【评析】提出有效问题，引导学生从数学内存联系，经过观察，发现，归纳，通过'添加辅助线转化问题，积累求解我的最优策略。本题通过引导凸显数学本质，新知转旧知，让孩子们通过问题看本质。

二．类比归纳：延伸思路， 探究问题                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         

【思考】如图3，直线O1O2是小华作的面积平分线，它与边BC，AF分别交于点M，N，过MN的中点O的直线分别交边BC，AF于点P，Q，直线PQ　_______ （填“是”或“不是”）L图形ABCDEF的面积平分线．

【教学片段2】师：点O是线段MN的中点，过点O的直线PQ（交边BC，AF于点P，Q）是否平分L图形的面积？能否用前面所得结论解决呢？

生1：我认为PQ是L图形的面积平分线。

生2：我问可以继续采用【活动】中的结论，“过对称中心的直线将平分中心对称图形的面积”来解决问题。由题意可知MN平分L图形ABCDEF的面积，又因为可证△QNO与△PMO全等，所以两三角形面积全等，因此我认为MN是面积平分线。

生3：老师我觉得可以这样看，由题意得：S1+S4=S2+S3，只要证：S3=S4，（即△OQN≌△OPM ）即可

就可以得：S1+S3=S2+S4，

师：说的真好，通过【思考】，我们还能得到什么结论呢？

生：经过面积平分线所在线段的中点的直线都能平分L图形的面积。

【评析】探究问题进一步升华，最大限度地发挥学生身心潜能，在变化的几何图形中寻求不变的规律，在解决问题时贯彻面积平分线平分面积，关注知识之间的联系，体验数学数学规律的生成和发现的过程和成功的喜悦。

三．拓展联想：类比推进，巧妙解疑

【应用】在L图形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．

（1）如图4，CD＝AF＝1．

①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点P，Q，求PQ长的最大值；

②该L图形的面积平分线与边AB，CD分别相交于点G，H，当GH的长取最小值时，BG的长为_________．

师：通过审题我们知道水平边为AF,DE,BC.那么过两条水平边的面积平分线有几种画法呢？

生1：应该有三种，分别为过AF,DC的，也有过AF,BC的，还有过DE,BC的

师：那我们把这三种情况都画一下，是不是三种情况都存在吗？

生2：我们可以排除掉第1个和第2个，因为左右两部分面积不等，只能是第3种情况。

师：为什么第2种要排除呢？

生3：过AF,BC的直线将左边图形的面积最大分为4，而右边矩形部分面积为6，所以需排除。

师；那如何在第3种情况中作面积平分线呢？前面【思考】中的结论有什么帮助吗？

生4：我们知道L图形的总面积为9，因此面积平分线将左右面积均分为4.5，而其中最特殊的就是垂直于DE,BC的直线MN,而【思考】中，有“经过面积平分线所在线段的中点的直线都能平分L图形的面积。”所以我们只要找到线段MN的中点G,即可，若要PQ最大，则需面积平分线过点G,和点B,P与点B重合，这时用梯形面积，以及勾股定理可求出PQ的最大值为根号10

生5：也可以这样想：延长DE交AB于点G，并作MN⊥BC当S1=S2=3时，PQ只要平分矩形BGMN的面积即可.易知此时DM=CN=3，因此当PQ为矩形BGMN的对角线时，PQ最大.

师：说的真好，结合第一问，大家能采用类比的方法解决第二问吗？

生6：通过排除只存在过AB,CD的面积平分线，根据几何直观，我们知道当GH⊥AB时，GH最小.设BG＝x，

根据上下两部分面积相等可知，BG=0.75

【评析】在解决问题时，教师不过多，不过细，不过急躁地分析题目，留出时间，空间放手让孩子探究，充分激发学生探究问题的潜在的创造力，几何直观能力，与已有认知结构中的解决方法相类比，关注知识间的内在联系，探究出正确简洁的解题途径，提升学生在新问题情境下迁移知识，解决问题的能力。

【应用】在L图形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．

（2）设      ＝t（t＞0），在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与边AB，CD

相交的面积平分线，直接写出t的取值范围___________________.

师：通过审题，我们应该抓住那些关键题眼呢？

生1：重点把握“在所有的与铅直方向的两条边相交”，“如果只有与边AB，CD相交的面积平分线”

师：那我们能否采用前面探索得到的方法解决问题呢？

（教室安静

生1：抓住题眼，我们先进行排除，同样三种情况，通过几何直观可直接排除过AF,CD的面积平分线，而过AB与EF的面积平分线则需要排除掉，这样才能体现题眼中的“只有”。假设面积平分线过E,B.那么左边的面积将是最大，因为不存在这种情况，我们可以得到：若S梯形ABEF < S梯形BCDE，则不存在l与AB、EF相交的面积平分线.

生2.所以我紧紧抓住S梯形ABEF < S梯形BCDE，延长DE交AB于点T可得△BTE与△BES面积相等，所以

可转化为矩形ATEF面积<矩形ESCD面积，4AF<6CD,

【评析】本题考查了考生的几何直观，推理能力和运算能力等核心素养。通过观察，发现，归纳，猜想，计算验证，借助几何直观，排除。抓住题目中得结构特征，变式条件，从特殊到一般，由一般到特殊，诱发学生进口课本，以新换旧，简化文字，挖掘出其中蕴含得规律，在变化中寻求不变，通过类比，使课堂教学充满“数学味”

通过对本道中考题的解答分析，在平时得教学中首先要紧扣教材,把握好教材的编写意图,挖掘其中的知识本质和教育价值。其次.对基本模型开展专题训练，将综合题中的基本模型，常用方法的教学渗透到三年的教学中，形成系统化的专题系列。采用“思路先行”的教学策略，让学生优先展示自己的理解与方法，形成自我探究的自我意识。再次培养学生的阅读理解能力，尤其将材料阅读类试题的思维训练贯穿于初二、初三的教学之中。