Black-Scholes模型定价效果分析—以上证50ETF期权为例

Black-Scholes模型定价效果分析—以上证50ETF期权为例

杨可

(福建师范大学经济学院，福建，福州350000)

摘要:上证50ETF期权是对A股市场产生深远影响的金融衍生工具，该期权的定价问题研究具有重要意义。Black-Scholes模型是期权定价的基本模型，在期权定价上的实用性不言而喻。本文结合基于GARCH模型预测波动率和历史波动率的Black-Scholes模型为上证50ETF期权定价，并以平均偏离度量化评价Black-Scholes模型的定价效果，发现基于GARCH模型预测波动率的Black-Scholes期权定价方法能够提高定价效果。

关键词:上证50ETF期权；Black-Scholes模型；GARCH模型

一、绪论

(一)Black-Scholes模型

Fisher Black和Myron Scholes提出了BS期权价值公式[1]。此后，Black-Scholes模型成为现代权证价值判断的经典模型。此后，学者对经典模型进行了各种改进[2]，如Merton、Amin和Jarrow的随机利率期权定价模型、Cox和Ross的常弹性方差模型、Leland的带交易费用的模型等。也有学者在经典模型中引入了交易费用和连续红利[3]。

由于上证50ETF期权的价格数据可能存在条件异方差和波动性聚凝，而GARCH族的模型在预测股价波动率方面被广泛认可[4]。因此，本文采用GARCH模型弥补期权价格数据存在的问题。

二、实证研究

(一)数据处理

本文选取2021年6月9日至2022年6月9日的上证50ETF(510050)每日收盘价为样本，以上证50ETF期权合约中的两只期权为定价参考，分别是50ETF购6月2750和50ETF沽9月2750，无风险利率取2022年五年期国债利率3.52%。以日对数收益率作为研究数据，样本期间上证50ETF期权对数日收益率的标准差S=0.0124226，基于样本标准差计算的历史年化波动率=0.1972027。考察上证50ETF日对数收益率的频数直方图，发现为负偏态，尖峰肥尾分布。对扰动项的正态性进行统计检验，各项均强烈拒绝“收益率服从正态分布”的原假设。为此，在后续的回归分析和模型构建中假设收益率服从t分布。

(二)模型构建

2.1基于GARCH方法构建预测模型

(1)平稳性检验和自相关检验

由于样本容量不大，ADF检验的功效较低，采用DF-GLS检验，结果显示从1至14阶滞后，均可以在5%水平上拒绝“存在单位根”的原假设。故认为收益率序列不含单位根，平稳性良好。

计算对数收益率的自相关和偏自相关系数，结果显示上证50ETF期权并不存在明显的自相关性与偏自相关性，无序列相关。

(2)ARCH效应检验

上证50ETF对数收益率有可能存在波动性聚集，VAR系列的检验结果显示，所有准则均建议滞后阶数为0。对收益率与其一阶滞后项作回归后的残差序列做GARCH效应检验，发现存在ARCH效应。由于收益率分布呈尖峰肥尾和负偏，采用“非对称门型GARCH模型”(简称TGARCH)，对正负性不同的往期残差加以调整，条件方差方程为：

其中，1(⋅)为示性函数，即当ε(t-1)>0时，取值为1；反之，则为0。

使用TGARCH(1,1)模型预测波动率，发现ARCH项和GARCH和TARCH项均很显著，存在不对称效应，且规模不可忽略，而TARCH的负号项表明，“好消息”对基金价格波动性的影响要小于“坏消息”。

2.2基于GARCH模型预测波动率

根据前文，得到基于TGRACH(1,1)模型的波动率预测公式：

以此模型预测收益波动率，日收益率的条件方差在个别时点会急剧上升。选取2022年5月9日、5月10日、5月11日、5月12日、5月13日、5月9日16、5月17日、5月18日、5月19日、5月20日进行预测。

表1 基于GRACH模型预测的波动率

2.3基于Black-Scholes模型的期权定价与效果评价

将历史波动率和GARCH预测波动率带入B-S公式，可以分别计算出未来10天的理论认购认沽期权价格，与实际价格结果进行对比。

表2 Black-Scholes期权定价价格

最后，采用平均偏离度公式量化评价两种方法的定价效果。发现对于认购期权，基于GRACH预测波动率的Black-Scholes期权定价的定价效果好于基于历史波动率的定价；对于认沽期权，基于GRACH预测波动率的定价效果要差于基于历史波动率的定价。

表2 Black-Scholes期权定价效果与对比

三、结论

本文对基于GARCH预测波动率和历史波动率的B-S期权定价公式的定价效果作了对比，发现对于认购期权和认沽期权，基于Black-Scholes期权定价的效果差别较小，对于认购期权，基于GRACH预测波动率的定价效果更好。

参考文献

[1]徐耸.Black-Scholes期权定价的风险(英文)[J].应用概率统计,2010,26(06):662-672.

[2]李海秋.Black-Scholes模型扩展性研究及参数估计综述[J].软科学,2005(01):5-8.

[3]陈溟.Black-Scholes期权定价的修正模型及其应用性研究[J].统计与决策,2011(07):135-137.

[4]刘玉兰,李姗.上证50ETF期权定价实证研究——基于B-S期权定价公式[J].中国商论,2017(33):22-24.