由“单位菱形面积”探究三角函数

由“单位菱形面积”探究三角函数

赵平

石狮市实验中学 

【摘  要】三角函数是联系几何知识和代数知识的一座重要桥梁，也是沟通初等数学和高等数学的一条重要通道，函数、坐标和几何等许多重要的知识都与三角函数关系密切，大量实际问题的解决也都经常用到三角函数的有关知识.本课例通过利用菱形面积定义正弦，遵循新概念教学的一般思路，由学生熟悉的面积问题引出正弦的定义.

【关键词】 单位菱形面积  三角函数  正弦

一、构想和目标

三角函数知识在义务教育阶段有极其重要的位置，是联系几何知识和代数知识的一座重要桥梁，而“正弦”作为一个重要的三角函数，一方面使学生对三角形中（特别是直角三角形）的边角关系有一个完美的知识建构，许多的数学问题可以用“正弦”的知识解决，也为后续学习余弦、正切及解直角三角形提供了有利的依据。

在利用“面积法”探索三角函数的概念的过程中，引导学生经历“观察猜想——小组合作——师生交流----推理验证——归纳总结”的过程，感悟特殊到一般、数形结合、化归与转化等数学思想方法，并能够将这些方法应用于后面其他数学知识的学习中去。

二、概念探究过程

（一）从熟悉的面积说起

1.知识回顾

    同学们还记得小学学过的三角形面积公式吗？请根据图形，回答以下问题：

如图（1），在中，已知，则

如图（2），如果已知告诉是边上的高，则的面积还可以表示为

其实在三角形面积公式的应用中，我们往往要合理选择三角形的底和高。

【意图】让学生再次回忆三角形的面积求法，为引入本节课内容做好知识铺垫.

2.设疑诱思

如图（3），跳板长5，端比端高1.端到跳板上点距离求点比端高多少？

如图，过点作于点,连结，

①由三角形面积公式可知，

②所以于是，可以得到

从以上的问题解决中我们可以观察出什么结论？

（在和中，只要有公共锐角，那么锐角所对的直角边与斜边之比就相等.）

【意图】设置疑问，引导学生思考方向，为本节课的探究做好准备，唤醒学生利用面积知识

对三角形相关元素的“探究欲”.

（二）概念探究与生成

     从以上的问题解决过程中，我们可以知道，在中，直角边与斜边之比

只与所对的角有关.其实，不仅仅是在直角三角形，在一般的三角形，我们也可以得

出这样的结论：

如图(4),在中，多对应的边分别为，过点作边上的高

，则的面积可以表示为：，

在中，的值是一个只与度数有关的数，索性就令为，即，所以所以也就是，

所以，

为了研究比较方便，假设如图（5），以为邻边构造菱形（因边长

为1，即为单位菱形），那么就是所构造菱形的面积，

所以，于是我们可以定义正弦“”的概念：

【意图】在引导学生探究“正弦”概念时，引领学生用面积公式来发现三角形的边长之间的关系，以及如何对边长进行特殊化处理，为接下来概念的生成做好铺垫.

思考：你能尝试给“正弦”下个定义吗？

正弦的定义：我们规定是一个角为的单位菱形的面积.

你能用符号语言和图形语言来表示吗？（用数学的语言表达世界）

图形语言：                                    符号语言：

【意图】通过营造开放式的探究模式，充分调动学生的思维，发挥学生的主观能动性.通过独

立思考-小组交流-班内交流-得出概念的环节程序，逐步让学生的独立思考，变成集体智慧，

同时在这个过程中，不断加深对图形的认识和对概念的理解，实现学生对概念的真正“探究”.

（三）典例示范与应用

例1 求：

解：（1）有一个角为的单位菱形就是单位正方形，面积

(2)(3)单位菱形四边变到同一直线上，所以面积

(4)与是同一个单位菱形的相邻角，决定同一个单位菱形的面积，所以.

【意图】本环节仍然是将问题抛给学生，按照自主完成-小组交流-班内交流的模式，力求尽

可能得发挥学生主观能动性，调动学生思维.同时，在生生交流过程中，教师给予适当指导和

引领，并指导学生体会分类的思想方法.

（四）分层作业与巩固（略）

（五）反思总结与推广

1. 通过开放式学习任务激发学生思维

本节课的多个环节，都设置了开放式的学习任务，如让教师引导、学生自主探究正弦的概念。其目的是让学生从已有的认知出发，自行发现新信息，产生新思考，得出新结论，并通过深入思考、交流互助，不断深化认识，最终得出探究结果.课堂实施上看，这一方式较好地激发了学生的探究欲望，激发了学生思维，让学生获得了足够的探究空间和思维的深度、广度，真正让学生成为了课堂学习活动的主角.

2.通过方法指导引领学生从“学会”走向“会学”

本节课的教学目标定位中，很重要的一点是引领学生关注三角函数的探究角度、探究内容、探究方法，使学生通过正弦的学习，获取今后学习其他新概念的路径，从“学会”走向“会学”.课堂上，每个环节后，都进行及时小结，都会通过即时小结引领学生对知识内容，和思想方法进行总结.

参考文献

1.李尚志. 新思路数学.七年级.下.长沙：湖南科学技术出版社，2021.3.

2.中华人民共和国教育部制定.义务教育课程标准（2022版）[M].北京：北京师范大学出版社

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《教育数学背景下重建几何三角的实践研究》课题研究成果，课题编号QJYKT-080