地面巡视搜索的数学模型

地面巡视搜索的数学模型

刘学才

湖北职业技术学院公共课部 湖北 孝感 432000

[摘要]：本文根据已知参考数据建立地面巡视搜索的数学模型，解决灾区遇到的实际问题。针对问题进行合理分析，建立线性规划模型，运用LINGO软件和MATLAB软件进行求解和绘图，从而解决了灾区紧急抢救问题。

[关键词] 路程公式 地面搜索 距离 LINGO软件

[中图分类号] O242.1 [文献标识码] A

一．问题的提出

在抗震救灾过程中，有一个矩形目标区域：11200米×7200米，需要制定搜索队伍的行进路线，对预定区域进行快速的全面搜索。

1．假定有一支20人一组的搜索队伍, 拥有1台卫星电话。设计一种耗时最短的搜索方式。搜索时间是多少? 能否在48小时内完成搜索任务? 如果不能，需要增加多少人。

2．为加快速度，搜索队伍有50人，有3台卫星电话，分成3组进行搜索。每组可独立将搜索情况报告给指挥部门。设计一种耗时最短的搜索方式，搜索时间是多少?

二．问题的解决

1：救助人员呈“一”字型排列且开始是向正右方搜索的，具体搜索路线如图一：

图一

说明：每格表示边长为800米的正方形区域，救助人员一直保持呈“一”字型排列搜索，分四阶段：

搜索阶段：每次救助人员向上行走与经过扫描区时间，即线段AB、CD、EF、GH、IK、JL、MN、OP、QR、TU：t1=（5600-800）/0.6+（11200-800）/0.6+（11200-800）/0.6+（11200-800）/0.6 +（11200-800）/0.6+7200/0.6+（11200-800）/0.6+（11200-800）/0.6+（11200-800）/0.6+（11200-800）/0.6+5600/0.6=168000秒

不搜索阶段:每次救助人员向上行走与经过扫描区时间，即BC、DE、FG、HI、LM、NO、PQ、RB、BT：t2=（800/1.2）*8+（4800+20）/1.2=9350秒

转弯阶段: 由原来AB变为A1B1：t3=2*(20^2+780^2)^0.5 /1.2=1300.41秒

集结时间:包括队伍分散站成一字型和队伍集结时间：t4=800/1.2=2000/3秒

总时间: T= t1+t2+t3+t4=（168000+9350+1300.41+2000/3）/3600=49.81小时；

因为T>48小时，

故需增加人数；

假设增加N个救助的人员之后，采用以上方案推广。

搜索阶段:t1=（11200-800-40N）*[7200/(800+40N)]/0.6+7200/0.6秒；

不搜索阶段:t2=（800/1.2）*[7200/（800+40N）]+(4800+20)/1.2秒；

转弯阶段: 转弯方式同上t3=2*(20^2+（780+40N）^2)^0.5 /1.2秒；

集结时间: t4=(800+40N)/1.2秒；

总时间：T= t1+t2+t3+t4=（11200-800-40N）*[7200/(800+40N)]/0.6 +7200/0.6+（800/1.2）*[7200/（800+40N）]+(4800+20)/1.2+ 2*(20^2+（780+40N）^2)^0.5 /1.2+(800+40N)/1.2秒；

由于要求在48小时内完成搜索任务；

则：T<48*3600=172800;

即：（11200-800-40N）*[7200/(800+40N)]/0.6 +7200/0.6+（800/1.2）*[7200/（800+40N）]+(4800+20)/1.2+ 2*(20^2+（780+40N）^2)^0.5 /1.2+(800+40N)/1.2<172800

利用LINGO软件解得：N=1；所以要增加一人，即21人可在48小时内完成搜索。

2.方案一：搜索队伍有50人，则A+B+C=50人；而且搜索面积S一定,即X+Y+Z=11200*7200=80640000平方米；

由于三组同时到达,才能使得搜索时间最短，则T= X/（40*A*0.6)=Y/（40*B*0.6） =Z/（40*C*0.6）;利用LINGO软件求解：T=19.42；

即耗时最短搜索方式50人分三组搜索完整个区域需要19.42小时。

方案二：根据第一问，可先将50人分为E：20人，F：20人，G：10人三组。

按人数比例分配搜索范围，则E，F，G三组搜索以800米为边长正方形个数为14*9*（2/5），14*9*（2/5）,14*9(1/5)，即分别为50.4，50.4，25.2个。

根据各组搜索路线和所给条件算出三个组搜索完各自路线时间如下：

t4=[(800+380)/1.2+8*800/0.6+800/1.2+13*800/0.6+800/1.2+13*800/0.6+800/1.2+14*800/0.6+780/1.2+(3*800+400)/0.6+800/1.2]/3600 =19.898小时

t5=[380/1.2+7*800/0.6+400/1.2+13.5*800/0.6+400/1.2+5.5*800/0.6+400/1.2+6*800/0.6+380/1.2+2.5*800/0.6+(400/1.2+800/0.6)*10+400/1.2+1.5*800/0.6+380/1.2+5*800/1.2+]/3600=19.804小时

注：t4，t5中的时间包括搜索、行进、转弯、集结时间。

由于t4＞t5，所以按照取大不取小原则总搜索时间应该为19.898小时。

方案三：把50人分为三组，人数分别为A、B、C人。由1知20人一组搜索完矩形区域时间为49.7小时；则每人每小时搜索范围为1*S/（49.7*20）平方米；所以A、B、C人每小时搜索面积分别为：

1 *A *S/ 49.7，1* B *S/49.7，1 *C *S/49.7；

则：[1*A*S /（49.7*20）+1* B*S /（49.7*20）+1 *C*S /（49.7*20）]t=11200*7200；

由条件知：A+B+C=50，S=11200*7200；解得：t=（49.7*20）/50=19.88（小时）

所以要搜索完整个区域所需要的最短时间为19.88小时。

该模型也可应用于：海面搜救，飞机失事救援等搜寻。

参考文献

[1] 赵静 但琦，《数学建模与数学实验》，北京：高等教育出版社，2007。

[2] 佚名，四川地震赈灾演讲稿和主持词，http://www.5151doc.com/yjzc/agyj/200805/85274.html，2008年9月22日。

作者简介：刘学才（1963-），男，湖北广水人，湖北职业技术学院数学教授，研究方向:高等数学、应用数学及数学建模与数学实验。

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