利用三角形全等构建数学模型以培养学生核心素养

利用三角形全等构建数学模型以培养学生核心素养

邓红英

广东省佛山市三水区第三中学 528100

【摘要】 数学课堂上教师引导学生用数学的思维方式进行思考比让学生学会数学知识更重要，是培养学生核心素养的重要基地.而数学建模旨在拓展学生的思维空间，让数学回归现实生活，从而提高学生的数学应用能力.通过“初现模型——完善模型——运用模型”对学生进行系统化的知识训练，增强对抽象知识的理解，又提高学生的思维能力，培养学生的数学核心素养.

【关键词】 核心素养 数学建模 数学模型

数学是一门基础学科，但在我们的日常生活和学习中又显得尤其重要.数学课堂上教师引导学生用数学的思维方式进行思考比让学生学会数学知识更重要.

而数学核心素养来自于学生的思考、质疑，反思是思维活动的核心和动力.数学课堂是培养学生核心素养的重要基地.基于新形势下开展的双主智慧课堂模式恰好满足了这一要求.将课堂还给学生，利用教师的智慧激发和调动出学生的智慧，从教学中慢慢培养学生的数学能力及核心素养的培养.

数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析.数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.数学建模旨在拓展学生的思维空间，让数学回归现实生活，从而提高学生的数学应用能力.

三角形全等这一知识点贯穿整个初中阶段几何知识的学习，利用三角形全等解决实际问题是学生学习能力的体现.下面将以《利用三角形全等测距离》这一节课的教学为例，谈谈建立数学模型的过程中如何培养学生的数学核心素养.

一．化繁为简，初现模型

原题呈现：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一个办法：如图1，他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．请解释其中的道理.

题目稍显复杂，对于初一的学生来说，阅读题目都有点困难，利用对图形的观察和数学抽象，从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念，并且用数学符号或者数学术语把这道题化繁为简，构建出如下数学模型：

如图2，已知AC⊥BD,∠BAC＝∠DAC, 你能用所学的数学知识说明BC=DC吗？

解：用的是全等的方法测距．如图，战士的身高为AC，敌军碉堡为B，自己所在岸的某一点为D，依题意可知，

在△ACB和△ACD中

∵∠ACB＝∠ACD=90⁰

AC=AC

∠CAB＝∠CAD

∴△ACB≌△ACD(ASA)

∴CB＝CD

二.一题多解，完善模型

从 上题呈现可以知道，运用三角形全等把实际生活中不可测距离变为可测距离，通过构建全等三角形这一类的数学模型使题目化繁为简，形成一类题型的解题方法.根据全等三角形的五种判定方法：SAS,SSS,AAS,ASA,HL（直角三角形),解决测距离的实际问题可以有多种构建全等三角形的方法，从不同的角度去看待同一个问题，通过感知不同的图形结构来完善这个模型，做到一题多解，提高解题能力.

例 如图3，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，你能帮小明设计一个方案，解决此问题吗？

1. 说出你的设计方案；

2. 你能用所学知识说明你设计方案的理由是什么吗？

方案一 ：

如图4,先在地上取一个可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长到D，使DC=AC，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，根据SAS证得△ACB≌△DCE,测出DE的长度就是A、B 间的距离.

方案二：

如图5, 先在地上作AB⊥BE，在BE取一个点C，使BC=CE，过E点作DE⊥BE，连接AD并测量出DE的长度，根据ASA证得△ACB≌△DCE,测得DE的长度就是A、B 间的距离.

方 案三：

如图6，找一点D，作AD⊥BD，延长BD至C，使CD=BD，连结AC，根据SAS证得△ABD≌△ACD,测得AC的长即得AB的长.

方 案四：

如图7，先在地面找一点D，作三角形ABD,再过点B作BC∥AD，并使AD=BC，连结CD，根据SAS证得△ABD≌△CDB,测得CD的长即得AB的长.

对数学学习中的各知识点进行分类构建模型，对解法进行归纳总结，以后不管遇到哪一类题型都能运筹帷幄，触类旁通.从完善模型的过程中也充分体现了学生的抽象思维、逻辑推理、数学建模等学习能力和数学核心素养的不断增强.

三.明确思路，运用模型

费 赖登塔尔说：“数学是现实的，学生从现实生活中学习数学，再把学到的数学用到现实中.”数学建模就是把没有解决的问题从数学的角度转化为已经解决了或比较容易解决的问题.运用已经归纳出的具有一般规律的方法解决实际问题，实现知识的迁移拓展和类比运用.

习题：如图8，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇.他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点.然后他向左直行当看到电线杆于游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点.那么C、D两点间的距离就是在A点处小明与游艇的距离.你知道这是为什么吗?

数 形结合是数学中一种基本的解题思路，引导学生理解题意“由图索模”，识图与解图的过程中，提取图形关键信息，确定解题方法.

结合题意和图形，可以确定这是一道测距离的题型，根据图形可以很快锁定上述的方案二可以解题.如图9，根据有两角及其夹边分别相等（ASA），两个三角形全等了，所以CD=AS.

新形势下的智慧课堂，既要增强对抽象知识的理解，又要提高学生的思维能力.课堂上教师应多方面创新教学模式，培养学生的数学核心素养.数学建模能力是初中生务必要具备的学习能力.初中数学中方程（一元一次方程、分式方程、一元二次方程）、函数（一次函数、反比例函数、二次函数）、图形的全等、图形的相似、三角函数等知识点的学习，都需要学生对每一类知识归纳提炼出相应的基本的数学模型，把知识化繁为简.当学生遇到同类考题时能做到“解一题，会一类，通一片.”

要实现这一能力的提升，需要学生平时多注重知识点的整合；老师在课堂上对学生多进行系统化的知识训练，尽早形成分析问题、解决问题的能力，形成模型思想，找到问题核心的慧眼.用我们的智慧去解决更多的数学问题，提升自身的数学核心素养.