暴露解题思维过程培育数学核心素养

暴露解题思维过程培育数学核心素养

何东

重庆科学城西永中学校

摘要：一道数学题考查一个或多个知识点，展现出学生的思维层次和数学核心素养的掌握情况，本文就以一道数学证明题为例探讨在解题过程中如何培育学生数学核心素养。

关键词：解题过程；暴露思维；核心素养

有关图形与几何的证明题、计算题学生觉得困难，不知如何分析题目的信息，不知如何构造辅助线，这是教师课堂教学中常遇到的问题。实际上这与我们的教材、资料上的数学问题只重视了解题的过程，而很少暴露这种方法的思维过程有一定关系。本质上缺少了对题目的思路来历和方法总结，这对学生形成解题经验和核心素养的发展有很大影响。因此在图形与几何的证明题、计算题教学中，教师和学生要活用教材和资料，都必须暴露解题思维这一过程。下面以一道题的解题思维过程为例，谈谈对培育学生数学核心素养的思考。

一、试题呈现

（2016年重庆市中考数学第25题）在 中， ，点 是 上一点，连接 ，过点 作 .在 上取点 ,连接 .延长 至 ,使 ,连接 和 ，且 .

（2）如图1，当点 在 上时，求证： .(第（1）（3）问略)

本 题是以三角形为背景，涉及全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、特殊直角三角形的性质、三角形的中位线的性质、勾股定理等知识点，重点考查了直观想象、逻辑推理、数学运算三个方面的核心素养。

二、核心素养与解法生成

1. 由直观想象构造“‘K’型全等”

证法1：如图2，过点 作 ，垂足为 ,过点 作 ，垂足为 ,过点 作 ，垂足为 。

易证四边形 为矩形，得 。因为在 和 中， ， ，所以 ，得 。再证 ，得 。在 中，因为 ，所以 。因为 ，所以 。在 中，因为 ，所以 。所以 。

证法2：如图3，过点 作 平行线，过点 作 的垂线交平行线于点 , 过点 作 ，垂足为 ，延长 交平行线于点 。

证法3：如图4，过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，延长 ，过点 作 延长线的垂线，垂足为点 。

证法2、证法3的过程与证法1类似，都是以 这个等腰直角三角形为基础，基于直观想象，构造证法1“‘内K’型全等” ，构造证法2“‘外K’型全等” ，构造证法3“‘内外K’型全等”三种“‘K’型全等”，转化 。再利用 的特殊直角三角形的边的关系，使问题得以突破。

2 . 由直观想象构造“旋转型全等”

证法4：如图5，过点 作 ,垂足为 ，连接 。

由证法1知 ，因为 ，得 ,所以 ，得 , ,所以在 中，因为 ，所以 。所以 。

证法5：如图5，过点 作 ,垂足为 ，连接 。

由 ，得点 ， ， ， 四点共圆，得 , ，所以 ，得 ，所以 ，得 。再同证法4问题得以解决。

证法4、证法5同样是以 这个等腰直角三角形为基础，基于直观想象，构造 “旋转型全等” ，转化 。同样使问题得以突破。

三角形的全等是初中逻辑推理的核心，其中“‘K’型全等”、“旋转型全等”构造全等图形比较常用，尤其在解决函数问题中出现较多，所以应通过暴露 如何构造“‘K’型全等和旋转型全等”的解题思维过程，有意识培育直观想象的核心素养。

3. 由直观想象构造“相似三角形”

证法6：如图6，过点 作 的垂线交 于点 。

因 为 ， 。由条件易证 , ，所以 。所以 ，又因为在 中， ，所以 。所以 。

证法7：如图7，过点 作 的垂线与 的延长线交于点 。

由 证法6易知 ，所以 。由证法1知 ，得 ，从而问题得证。

证法8：如图8，过点 作 的垂线，垂足为 ，过点 作 的垂线，垂足为 。

易知 ，所以 。又因为 ， ,所以 。

以上三种证法都是在 的 中，基于直观想象，构造相似三角形。证法6是以 为基础，利用 的特殊直角三角形的斜边与短直角边之比（ ），在 中以 为顶点作垂线构造相似。证法7是以 为基础，同样利用 的特殊直角三角形的斜边与短直角边之比，在 中以 为顶点作垂线构造相似。证法8是以 为基础，利用 的特殊直角三角形的斜边与直角边之比（ ），分别以 为顶点作垂线构造相似。在通过特殊直角三角形边之间的关系进行转化，得出数量关系。

证法9：如图9，延长 到点 ，使 ，连接 。

易知 ， 得 ,所以 。所以 ，得 ，所以 ，所以 。

三角形的相似是初中逻辑推理的重要组成部分，证法6、7、8、9都是一对角相等、一对边之比已知，其中证法6、7、8以已知边端点构造相似图形，证法9是构造“对顶型”相似图形，这要求学生直观想象构造相似图形的能力比构造全等图形的能力更高，所以更应通过暴露如何构造相似三角形的解题思维过程，更高层次培育直观想象的核心素养。

4. 由逻辑推理构造“中位线”

证法10：如图10，分别取

的中点 ，连接 ，过点 作 的垂线交 于点 。

由 是 的中位线，易证 ，得 ，所以 。

证法11：如图11，分别取 的中点 ，连接 ，过点 作 的垂线交 于点 。

证 法12：如图12，分别取 的中点 ，连接 并延长与 的延长线交于点 。

证法13：如图13，分别取 的中点 ，连接 ，过点 作 的垂线交 于点 。

证法11、12、13与证法10类似，构造中位线后问题迎刃而解。

以 上证法都是由结论 出发，逻辑推理可知必须找到 的中点，即常用的截长补短法，于是想到连接三角形的中位线，然后构造出全等三角形，这就充分暴露了如何想到构造中位线的解题思维过程，让学生思路更加清晰，培育了逻辑推理的核心素养。

5. 由数学运算构造“特殊直角三角形”

证法14：如图14，过点 作 ，垂足为 。

设 ，得 ， ,

， ， ，所以 。

本题已知出现 ， ，联想到在特殊直角三角形中，可通过数学运算线段的长度，由数量关系予以证明。于是想到过点 作垂线，构造三个特殊直角三角形。数学运算的培育不仅在数与代数学习中，而且在图形与几何的学习中也应重视，使其成为培育数学运算的一个切入点。

三、解题启示

本题的多种证法考查出学生不同的运用知识的能力，展现出学生的思维层次和数学的核心素养。本题解法虽多，但要分析解法途径优劣，让学生思维更简捷。老师只要善于挖掘，每个数学问题都涉及一个或多个数学核心素养，所以，培育数学核心素养并不是高不可攀，解决数学问题就是在培育数学核心素养，培育数学核心素养可以随时在解题中渗透。在解题教学中，培育数学核心素养，最有效的途径就是暴露解题思维过程，重新“再创造”，形成良好数学活动经验。

参考文献：

［1］史宁中.《教育与数学教育》[M].东北师范大学出版社,2006，8.204.

［2］林宗基译.创新思维[Ml.教育科学出版社.1987.