具有不稳定子系统的切换系统研究综述

具有不稳定子系统的切换系统研究综述

赵明星 刘志

临沂大学

摘 要：对具有不稳定子系统的切换系统研究进行了阐述。首先，本文总结了使具有不稳定子系统的切换系统稳定性的方法；其次，讨论了部分子系统不稳定和全部子系统都不稳定的情况；最后，对该研究方向进行了展望。

关键词：不稳定子系统 切换系统 稳定性

1 引言

混杂动态系统[1]是由离散时间动态系统、连续时间动态系统，或者两者相互作用的系统组成。切换系统是一类非常重要的混杂系统，它由一组连续或离散的子系统和它们之间的切换规则组成。近年来，切换系统受到了越来越多的关注。其中切换系统在网络控制系统、蜂窝移动通讯系统、空调系统、飞行控制系统、电力系统、社交网络系统等[2]方面应用广泛，例如蜂窝移动通讯系统，当用户从一个基站的覆盖范围移动到另外一个基站的覆盖范围时，先前被占用的信道立即被切换到可用信道中，该系统可以建模为一个切换系统[3]。

本文对具有不稳定子系统的切换系统稳定性分析的方法做了梳理和总结，使读者对该方面有一定的了解。

2 系统描述

一般情况下,连续非线性切换系统表示为

（1）

其中 是光滑非线性函数，且 。 是状态向量，函数 是切换信号。 是子系统的数量，切换序列为 。当 时，第 个子系统被激活。

定义2.1 [4] 在一定的切换信号 下，切换系统(1)是全局指数稳定的，如果对于任意初始条件 ，存在常数 和 ，使系统解满足

离散切换系统的数学模型可根据连续时间模型类似地给出。

3 稳定性分析

3.1部分子系统不稳定

分析具有不稳定子系统的切换系统稳定性的主要思路是充分激活稳定的子系统去抑制不稳定子系统的状态发散。Zhao等人在文献[5]中，利用多重李雅普诺夫函数方法，给出了具有稳定和不稳定子系统的切换系统的一些新结果。Cao等人在文献[6]中，利用多重李雅普诺夫函数和平均驻留时间方法，研究了具有稳定和不稳定子系统的时滞切换非线性系统的稳定性问题。

3.2全部子系统不稳定

每个子系统可以分解为稳定和不稳定的部分，切换系统可以稳定在一个状态依赖的切换序列[7]。Liu等人在文献[8]中给出了关于所有子系统都不稳定的切换系统的状态依赖切换序列的设计。

Xiang等人在文献[9]中，利用离散李雅普诺夫函数技术，讨论了全部子系统都不稳定切换系统的稳定性问题。 Mao等人在文献[10]中提出了一种新的平均驻留时间，称为有界最大平均驻留时间(BMADT)，放宽了对最小停留时间和最大停留时间的限制。

4 展望

本文总结了具有不稳定子系统的切换系统稳定性的研究成果，下面对未来该领域的研究方向作展望。

（1）如何构造一个公共Lyapunov函数，仍然是切换系统稳定性分析中的一个难题，并且如何得到新的且便于验证的稳定性定义有待解决。

（3）对于某些实际切换系统，需要设计一个切换策略来提高系统的稳定性以及降低运行成本，从而使得效益增加，如何设计切换策略仍有待解决。

参考文献

[1] 莫以为, 萧德云. 混杂动态系统及其应用综述[J]. 控制理论与应用, 2002(01):1-8.

[2] T. S. Rappaport,Wireless Communications: Principles and Practice[M]. New Jersey: prentice hall PTR, 1996.

[3] Wang Y E, Karimi H R, Wu D. Conditions for the stability of switched systems containing unstable subsystems[J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs, 2018, 66(4): 617-621.

[4] Zhai G, Hu B, Yasuda K, Michel A N.Stability analysis of switched systems with stable and unstable subsystems: an average dwell time approach[J]. International Journal of Systems Science, 2001, 32(8): 1055-1061.

[5] Zhao X, Shi P, Yin Y, Nguang S K. New results on stability of slowly switched systems: A multiple discontinuous Lyapunov function approach[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2016, 62(7): 3502-3509.

[6] Li X, Cao J, Perc M. Switching laws design for stability of finite and infinite delayed switched systems with stable and unstable modes[J]. IEEE Access, 2018, 6: 6677-6691.

[7] Li Z G, Wen C Y, Soh Y C. Stabilization of a class of switched systems via designing switching laws[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2001, 46(4): 665-670.

[8] Liu Z, Zhang X, Lu X, Liu Q. Stabilization of positive switched delay systems with all modes unstable[J]. Nonlinear Analysis: Hybrid Systems, 2018, 29: 110-120.

[9] Xiang W, Xiao J. Stabilization of switched continuous-time systems with all modes unstable via dwell time switching. Automatica. 2014 Mar 1;50(3):940-5.

[10] Mao X, Zhu H, Chen W, Zhang H. New results on stability of switched continuous-time systems with all subsystems unstable. ISA transactions. 2019 Apr 1;87:28-33.

基金项目：国家自然科学基金项目(61903171)。

作者简介：赵明星(1998-),男,山东滨州人,硕士研究生,在校学生。

通讯作者：刘志(1986-),女,山东临沂人,博士研究生,副教授。