仿射变换在椭圆中的应用—以2道高考试题为例

仿射变换在椭圆中的应用—以 2 道高考试题为例

马慧燕 李三平

陕西师范大学数学与统计学院 西安 710062

摘要：

椭圆是高中圆锥曲线中的主要内容之一，在高中数学中占据重要的地位，同时也是高考的重要考点以及学生学习的重难点。本文主要通过仿射变换，来解决与椭圆相关直线斜率、面积等问题，发现应用仿射变换比常规的解析几何方法运算更加简便，最重要的是可以大大减少运算量，这为学生在考试或高考中，节省了一定的时间。

关键词： 仿射变换 高考 椭圆 应用

1. 仿射变换的定义^[1]

如果平面上的一个点变换，把共线的任意三点变成共线的三点，并且保持三点的单比不变，则可以称该点变换为仿射变换。仿射变换是几何学中一个基本的变换，图形在变换中保持许多不变的性质和不变量。其中包括：同素性不变，即把直线变成直线、点变成点；平行不变性是把平行直线变成平行直线。

一般地，在仿射平面上，仿射变换的代数表达式为

注：下面两个性质可以根据上述代数表达式进行相关证明，但为了后面能更好地将仿射变换应用到椭圆的具体事例中，故直接采用椭圆的代数仿射表达式进行相关的证明，以便于读者更直观的理解和应用。

2. 仿射变换的性质^[1]

仿射变换在椭圆中的应用，主要涉及直线的斜率、图形的面积等，故下面的研究都是基于椭圆和直线，它们的方程分别为：

（ ） （2.1）

（ ） （2.2）

1. 1. 椭圆的仿射变换像是圆

证明：

由方程（2.1）可作如下的仿射变换 。椭圆方程变为： ，该方程是坐标为原点，半径为1的单位圆。因此，通过仿射变换可以将椭圆变换为圆，同理，也可以将圆通过仿射变换转化为椭圆，这也是本节为什么将椭圆和仿射变换结合的目的。

1. 2. 直线在仿射变换后还是直线

证明:

由上述仿射变换将直线方程变为 ，因为所做的变换是非退化的，所以 均不为 ，故上述方程还是一个直线方程。因此，经过一定的仿射变换，由直线还是变换为直线并它们之间的斜率存在一定的关系。

3. 仿射变换的应用

例1 （2018年全国三卷20题第1问）

已知斜率为 的直线与椭圆： 交于 两点，线段 的中点为 ，（ ）。

证明：<-

分析：本题主要考察了圆锥曲线（椭圆）与直线的位置关系和满足此关系时，直线方程的斜率满足什么条件。在原有基础上，学生首先会用解析几何的方法设出中点为 的直线方程，在此基础上，通过联立椭圆方程，使其化为一个关于 或 和 的方程，最后求此方程有两个解的条件，进而求出直线 的取值范围。最后不难发现，利用解析几何的方法，计算量很大，而且最后得到的关于 或 和 的方程，还需要确定一个主元，而题目中给出的 的范围也太大。故下面主要采用仿射变换来克服以上的问题，同时也为读者提供一个更好的解决方法。

证明：设过点 ，斜率为 的直线方程为 - + ，作仿射变换 。椭圆 变为圆： ，直线方程变为 - + - ，点 变为 。

因为直线与椭圆有两个交点，所以变换后的直线与圆也有两个交点。故满足

， - - -

解得 ，故 - （已证）。

从上述证明过程不难看出，经过仿射变换，将椭圆与直线的问题，转化为学生熟悉的圆与直线的问题，为了更好的理解这一变换过程，特地作出了如图所示的图形。

经过仿射变换

例2^[2]（2014年全国卷1理科20题第2问）

已知点，椭圆（）的离心率为， 是椭圆的右焦点，直线 的斜率为， 为坐标原点。

求：过点 的直线 与 相交于 两点，当三角形 的面积最大时，求 的方程。

分析：该题主要考察了椭圆和有关面积的计算，进而得出满足两者的直线方程。学生通常的作法和上述例1中的解析几何方法一致，在计算的过程中也会存在计算量大、有关内容理解不到位，而导致学生产生焦虑情绪并最终放弃此类试题的解答。本文还是基于仿射变换为学生提供一种新的求解思路，以帮助学生克服对此类题的恐惧心理。翻转课堂教学模式下的数学深度学习。

（图1） （图2）

证明：首先作出了由椭圆变换到圆的图形（图1-图2）。由第（1）问可以求得椭圆 的方程为：，设经过点 的直线方程 为： -2作仿射变换，椭圆 变为圆:，直线 为：-2，点 变为 （ ，- ）。

因为在圆和 中，，又因为 ， 的长度为，

所以。当 时，三角形 的面积最大。又因为圆心 到直线 的距离为，即，解得：，所以直线 的方程为

或

注：文献[2]中所作的仿射变换将椭圆转化为圆心为坐标原点，半径为2的圆。本文直接将其转化为圆心为坐标原点，半径为1的单位圆，一来可以在一定程度上简化一定的运算量并且也是学生最为熟悉的方程；二来也想说明椭圆的仿射变换不唯一，而在不同的仿射变换下，最终求得的结果都是一致的。

4. 总结

本文主要通过对仿射变换的定义和性质进行简单的说明和证明，目的就是让学生认识和理解仿射变换的内容，以便于其在解决与椭圆有关的直线斜率、面积有关问题中，不能仅停留在解析几何的解答方法中，可以根据自己对于仿射变换的理解，进一步将其应用到具体的事例中。而大部分学生都是初次接触此知识点，为了便于学生更好的应用仿射变换，最终以两道具有典型性的高考例题加以说明，并对此类方法的优点进行描述。仅供读者参考。

5. 参考文献

1. 刘增贤.高等几何学习指导[M].北京:高等教育出版社,1989

2. 彭耿铃.巧用仿射变换秒解高考解析几何题[J].中学生数理化，2016（5）：24

Abstract:

Ellipse is one of the main contents of the conic curve in senior high school. It occupies an important position in mathematics in senior high school, and it is also an important test point of the college entrance examination and a heavy and difficult point for students to learn.In this paper, affine transformation is mainly used to solve problems related to elliptic slope and area, and it is found that the application of affine transformation is more convenient than the conventional analytic geometry method to calculate, and the most important thing is to greatly reduce the amount of calculation, which saves students some time in the examination or college entrance examination.

Key words:Affine transformation；university entrance exam；ellipse；application

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