基于小波变换的正则化图像复原算法

基于小波变换的正则化图像复原算法

陈新平

重庆建筑工程职业学院 重庆市 400072

本文对传统小波图像复原算法进行了研究，结合频域正则化方法改进了小波图像复原算法。本文提出的小波域正则化图像复原方法是一种混合正则化方法，其基本方法是：在傅立叶域（频域）求逆时, 通过正则化的方法使退化图像的逆由病态转为良态，再在小波域运用正则化的方法以去除图像的噪声，从而估计出复原图像^[1]。并用模拟图像进行了方案试验，仿真实验证明改进后的算法复原的图像PSNR指标和视觉效果较优。

关键词：图像复原图、正则化、小波变换 峰值信噪比PSNR

1 小波变换基本理论

小波变换(Wavelet Transform,WT)是二十世纪80年代发展起来的应用数学分支。现在小波变换已成功应用于信号处理的诸多领域，如信号估计、检测、分类、压缩、合成以及预测和滤波等^[2] ，在图像处理领域也得到了新的发展。

1.1 二维信号的小波多分辨率分析

图像是一个能量有限的二维函数，把图像进行多分辨分解，即将图像分解成不同空间、不同频率的子图像，然后分别进行处理是小波变换用于图像分析的基本思想。

图像经过小波变换后能够获得良好的空间-频率多分辨率表示，且生成的小波图像的数据总量保持不变。

1.2 图像复原问题的小波域描述

为了方便在小波域上对图像复原问题 进行描述^[4]，我们将原始图像 记为 ，表示最小尺度0上的尺度系数。尺度 上的尺度系数 经一次小波分解后产生四幅大小为 的四分之一的子图像 ， ，其中 表示尺度 上的尺度系数，而 ， 分别表示尺度 上对应于水平、竖直以及对角方向的小波系数。以上过程对 可以迭代进行下去，从而得到原始图像 的多级小波分解。对于J级小波分解， ， 表示最大尺度上的尺度和小波系数。以 表示二维小波(尺度)系数矩阵 的辞书式排列向量，而 为所有小波和尺度系数 的辞书式排列向量。

对 两边进行正交小波变换得：

（1）

（2）

其中 为二维小波变换矩阵， ， 和 分别为观测图像、原始图像以及噪声在进行小波变换后的尺度和小波系数向量。 为点扩散函数 在小波域表示，即 。

为便于讨论，我们只考虑正交小波变换，因而 ， 为零均值的高斯白噪声，其方差为 。若小波分解的级数为 ，（ ≥1)，则

（3）

（4）

（5）

2 基于小波变换的正则化图像复原算法

与空间域的图像复原方法相比，小波域图像复原方法最明显的优点就是图像的边缘能够几乎完整地被保持。小波变换的时频局部特性使得基于小波变换的图像复原算法能够比较准确地反映图像的局部性质，从而克服了用一般的二次正则化函数进行图像复原所带来的图像过度平滑的缺陷。

2.1 频域正则化反卷积

我们可用式6来表示离散傅立叶变换域的图像的退化模型:

（6）

如果点扩散函数H是非奇异矩阵，那么F的一个无偏估计就是:

（7）

如果系统是病态的，在图像复原过程中噪声会被放大，得到是一个带有严重噪声的估计图像。我们可以在傅立叶域或者小波域单独进行正则化逆滤波，也可以在傅立叶域和小波域同时进行混合正则化逆滤波，来解决图像复原的病态问题^[6]。混合正则化的基本思想是在图像处理过程中，在傅立叶域进行正则化，从而在一定程度上控制噪声的放大，在小波域进行正则化处理，从而去除大部分的噪声，这样在算子为病态的情况下也可以抑制噪声的放大。

当f广义平稳时，频域的正则化估计为^[3]：

（8）

其中 (9)

和 分别是信号 和噪声 的功率谱， 是正则化参数。当 时，该估计就是维纳滤波器，它提供了均方差意义上的最优正则化估计。然而实际的图像信号往往是含边缘的非平稳信号，运用维纳滤波的复原方法在抑制噪声的同时会使原图像的边缘变模糊，造成复原效果不理想。小波变换具有分析非平稳信号的特点，能够克服频域分析的不足。

2.2 小波域正则化算子去噪原理

我们将小波变换具有的多分辨率和时频局部化特性应用到图像复原中来，对图像的低频分量和各个高频分量分别进行处理，从而达到改善图像复原效果。通过小波变换，退化图像被分解为1个低频子频段LL和3个高频子频段，这3个高频子频段分别为：垂直方向低频水平方向高频子频段HL，水平方向低频垂直方向高频子频段LH和对角方向高频子频段HH，记为

、 、 、 。图1给出了基于小波变换的正则化图像复原的原理框图。

如图1所示，对分解后的四个子频段图像，我们选用不同的算子进行自适应正则化迭代求解，在图像复原过程中，对低频子频段侧重去模糊以恢复图像的基本信息，对高频子频段侧重抑制噪声和保持图像的细节^[5]。

2.3 小波域正则化算子的选择

对图像进行小波分解后，对图像的复原问题就变成了四个子频段独立的收敛问题。如何针对不同子频段图像的不同特点选择正则化算子对图像进行复原处理，是影响算法性能和效果的关键所在。若正则化算子选择不合适，有可能使算法收敛速度变慢，复原效果变差，也可能导致算法不收敛，从而得不到复原图像的解。经小波分解后，图像的能量主要分布在低频子频带LL中，它的水平、垂直和对角方向的高频分量分别在3个高频子频带HL、LH和HH中。因此在图像复原的过程中，对低频子频段我们侧重去模糊以恢复图像的基本信息，对高频子频段我们侧重抑制噪声和保持图像的高频细节。由于低频子频带LL更接近图像的真实信息，所以我们选用一个3×3的拉普拉斯算子构成高通滤波器作为正则化算子，即: 。考虑到高频子频段HL保留有图像的垂直方向的边界信息，本文选用垂直方向的平滑因子 作为正则化算子，高频子频段HH保留有图像水平方向的边界，选用水平方向的平滑因子 作为正则化算子。由于斜向（对角方向）的高频子频段HH对图像主观视觉效果影响不大，我们在对HH子频段进行图像复原时，不考虑它对原图像的约束，即正则化算子取0值。

图1 基于小波变换的正则化图像复原的原理框图

3 实验结果与分析

为了验证算法的有效性，本文以标准国际图像lena的灰度图像作为原始图像，实验中分别采用大小为13个像素、标准差为9个像素的高斯低通滤波器先对图像进行模糊，再加均值为0，方差为0.02高斯噪声生成退化图像, 相同的高斯模糊再加均值为0，方差为0.05高斯噪声生成退化图像，分别用经典的小波复原算法和本文改进后的小波复原算法进行对比实验。给出了PSNR等客观评价指标的比较结果作为衡量算法的参考标准. 实验证明：改进后的算法，效果好于原算法且稳定，它比原算法噪声少，能复原出更多的图像细节。

表1 lena图像复原两种算法的PSNR等参数比较

图2 高斯模糊加方差为0.02的高斯噪声生成退化图像的复原

图3 高斯模糊加方差为0.05的高斯噪声生成退化图像的复原

4 小结

本文介绍了小波图像复原算法原理，运用在频域和小波域分别进行正则化处理的方法对小波复原算法的进行了改进，仿真实验证明改进后的算法优于原算法，噪声少，能获得更多的图像细节，视觉效果也较好。

参考文献

[1] R.Neelamani,Hyeolho Choi and R.Baraniuk. ForWaRD. Fourier-wavelet regularized deconvolution for ill-conditioned systems [J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2004 , 52(2): 418- 433

[2] 顾建平.图像修复快速算法研究 [D].北京：中国科学院自动化研究所,2005,4-47。

[3] 冈萨雷斯.数字图像处理(第二版)[M].北京:电子工业出版社，2003,235-246

[4] 汪雪林，韩华，彭思龙.基于小波域局部高斯模型的图像复原[J].软件学报，2004，15(3)：443-450

[5] 江洁，邓琼，张广军．基于小波变换的正则化盲图像复原算法[J].光学精密工程，2007，

15(4)：582-586

[6] 吴显金，王润生．小波域噪声分布估计的自适应正则化图像恢复[J]．计算机辅助设计与图形学报．2006，18(4)：502-506