施工控制网中投影长度变形控制方法

施工控制网中投影长度变形控制方法

杨先恩

文山蔚鑫地矿工程勘察有限公司，云南 文山 663099

摘要：在平面控制测量中，地面长度投影到参考椭球面、参考椭球面长度投影到高斯平面皆会引起地面长度变形。本文主要以实际案例为基础，介绍如何选择投影参数，控制长度变形。

关键词：参考椭球面 抵偿高程面 投影变形 高斯投影

前言

根据《工程测量规范》（GB50026-2007）中规定：

3. 1.4平面控制网的坐标系统，应在满足测区内投影长度变形不大于2. 5cm/km的要求下，作下列选择:

1采用统一的高斯投影3°带平面直角坐标系统。

2采用高斯投影3°带，投影面为测区抵偿高程面或测区平均高程面的平面直角坐标系统;或任意带，投影面为1985国家高程基准面的平面直角坐标系统。

3小测区或有特殊精度要求的控制网，可采用独立坐标系统。

4在已有平面控制网 的地区，可沿用原有的坐标系统。

5厂区内可采用建筑坐标系统。

规范中之所以进行以上规定，是因为在平面控制测量中，地面长度投影到参考椭球面、参考椭球面长度投影到高斯平面皆会引起地面长度变形；地面长度投影到参考椭球面对边长是负影响（也就是边长变短），参考椭球面长度投影到高斯平面是正影响（也就是边长变长），两者会综合影响到地面长度。

为了保证施工放样的精度要求，要求通过控制点坐标直接反算的边长与实地测量的边长尽量相等，满足设计规定的施工精度要求，一般要求是满足测区内投影长度变形不大于2. 5cm/km。而要满足投影变形精度，就需要选择合适的抵偿高程面和中央子午线，以达到控制投影长度变形的目的。

一、投影长度的变形

在控制测量计算中，有四项投影计算会引起长度变形: 一是地面水平距离投影到参考椭球面，这将引起距离变短；二是参考椭球面距离投影到高斯平面，这将导致距离变长；三是参考椭球面距离投影到抵偿高程面，这将导致距离变长；四是不同抵偿高程面之间的投影变形；如果低的抵偿高程面投影到高的抵偿高程面，这将导致距离变长；如果高的抵偿高程面投影到低的抵偿高程面，这将导致距离变短。下面将对以下四种情况变形计算进行详细讨论。

（一）地面水平距离投影到参考椭球面

地面水平距离S₀投影到参考椭球面的长度为S，投影示意图如图一：

图一

此项变形的数值为：

（式1）

变形的数值可近似地写为：

（式2）

式中，H_m为边长两端的平均大地高程，R为当地椭球面平均曲率半径, S₀为地面水平距离。

表一中列出了在不同高程面上依式2计算的每千米长度投影变形值和相对变形值，R的值取6370km。

表一 在不同高程面上每千米长度投影变形值和相对变形值

由表一可知，高于椭球面的地面水平边长投影到椭球面总是距离变短。投影变形的绝对值与H_m成正比，随H_m的增大而增大，而且当H_m = 150m时，每千米长度变形接近-2.5cm，相对变形接近1/40000。当不考虑高斯投影变形时，每10m高差的边长改正值达1.57mm，在实际施工测量中一定要重点考虑。

（二）椭球面距离投影到高斯平面的长度变形

高斯投影示意图如图二：

图二

此项变形的数值可近似地写做：

（式3）

式中，S为椭球面边长，R为当地椭球面平均曲率半径，Y_m投影边两端Y坐标（去掉500km常数）的平均值。表二中列出了不同Y_m时每千米长度投影变形值和相对变形值。

表二 不同Y_m时每千米长度投影变形值和相对变形值

由表二可知，投影变形与Y_m的平方成正比，离中央子午线越远变形越大。测区约在Y_m =45km处每千米变形2.5cm，相对变形1/40000。当测区约在Y_m =10km处每千米变形1.2mm，目前全站仪测距的最高精度也只达到1ppm+1mm，因而当测区离中央子午线小于10km时，非精密测量基本不用考虑高斯投影变形的影响，只需要考虑抵偿高程面投影变形改正就行了。

（三）参考椭球面距离投影到抵偿高程面

在实际工作中，经常会遇到使用国家统一坐标进行坐标放样的问题，当测区高程超过一定值时（一般不超过150米）时，需要将参考椭球面距离投影到抵偿高程面，否则用全站仪或钢尺等很难进行精确放样；即使放样，也要计算距离变形值，相当复杂。地面距离投影到抵偿高程面变形公式只需要根据式二，进行反向改正即可，改正导致距离变长。

此项变形的数值可近似地写做：

（式4）

（四）不同抵偿高程面之间的投影变形

当投影面不是参考椭球面，而是大地高程为H₀的某个投影面时，则改正值为

（式5）

当从低投影面改正到高投影面时，边长变长；当从高投影面改正到低投影面时，边长变短。这种改正在长距离线路测量中，相邻两套坐标系换算时，经常使用。

综合以上几种变形，在确定最后的总投影长度变形约为0时，可推导出几种坐标系统的中央子午线和投影基准面选择方案。

二、坐标系统选择

不同测区情况下，可选择的坐标系统如表三：

表三 不同投影条件下的坐标系统

（一）坐标系统一

当测区处于国家统一3°带中央子午线附近(测区离中央子午线一般不大于45km),测区高程不大于150米，总长度变形值不大于2.5cm/km时，可直接采用高斯正形投影的国家统一3°带平面直角坐标系统，即“坐标系统一”。

目前很多区域广泛使用1980西安坐标、2000国家坐标，不用建立独立的地方坐标系，这里就不再进行详述。

（二）坐标系统二

当测区处于国家统一3°带中央子午线较远的位置(测区离中央子午线一般大于45km),测区高程不大于150米，总长度变形值不大于2.5cm/km时，可直接采用高斯正形投影的任意3°带平面直角坐标系统，一般中央子午线设置为测区平均中央子午线，边长投影于参考椭球面，即“坐标系统二”。

（三）坐标系统三

当测区处于国家统一3°带中央子午线附近(测区离中央子午线一般不大于45km),测区高程大于150米，总长度变形值不大于2.5cm/km时，可直接采用高斯正形投影的国家统一3°带，边长投影于抵偿高程面，即“坐标系统三”。

（四）坐标系统四

当测区处于国家统一3°带中央子午线较远的位置(测区离中央子午线一般大于45km),测区高程大于150米，总长度变形值不大于2.5cm/km时，可直接采用高斯正形投影的任意3°带，一般中央子午线设置为测区平均中央子午线，边长投影于抵偿高程面（测区高差较大时，可以设置几个抵偿高程面，一般高差每150米设置一个），即“坐标系统四”。

三、中央子午线和投影基准面选择实例

西部地区修建一条高速公路，公路为东西走向，东低西高；东边离中央子午线（102°）最远200km，西边离中央子午线最近100km；东边最低点高程为H1=500m, 西边最高点高程为H2=1500m。测区示意图见图三。

如何在满足测区内投影长度变形不大于2. 5cm/km的条件下，选择合适的抵偿高程面和中央子午线？

图三

（一）测区高斯投影变形计算

（1）根据式3，A点（Ym=200km）的高斯投影变形△S_A=492.9mm；

（2）根据式3，B点（Ym=150km）的高斯投影变形△S_B=277.3mm；

（3）根据式3，C点（Ym=100km）的高斯投影变形△S_C=123.2mm。

（二）测区抵偿高程面投影变形计算

1、以A 点H1=500m作为抵偿高程面，测区抵偿高程面投影变形值如下：

（1）根据式3，A点（H1=500m）的抵偿高程面投影变形△S₄ = 0.0mm；

（2）根据式3，B点（H3=1000m）的抵偿高程面投影变形△S₄ = -78.5mm；

（3）根据式3，C点（H2=1500m）的抵偿高程面投影变形△S₄ = -157.0mm。

2、以B点H3=1000m作为抵偿高程面，测区抵偿高程面投影变形值如下：

（1）根据式3，A点（H1=500m）的抵偿高程面投影变形△S

₄=78.5mm；

（2）根据式3，B点（H3=1000m）的抵偿高程面投影变形△S₄=0.0mm。

（3）根据式3，C点（H2=1500m）的抵偿高程面投影变形△S₄=-78.5mm；

3、以C点H2=1500m作为抵偿高程面，测区抵偿高程面投影变形值如下：

（1）根据式3，A点（H1=500m）的抵偿高程面投影变形△S₄=157.0mm；

（2）根据式3，B点（H3=1000m）的抵偿高程面投影变形△S₄=78.5mm；

（3）根据式3，C点（H2=1500m）的抵偿高程面投影变形△S₄=0.0mm。

（三）测区投影变形综合计算

1、测区投影综合变形值为：

△S = △S_A + △S₄ = +

根据（一）测区高斯投影变形计算和（二）测区抵偿高程面投影变形计算进行综合计算，假设中央子午线不变，以B点H3=1000m作为抵偿高程面，抵偿高程面投影变形最大为△S₄ = 78.5mm，高斯投影变形最大为△S_A=492.9mm，综合变形最大为△S =571.4mm,不满足测区内投影长度变形不大于2. 5cm/km，有必要重新变换中央子午线，并同时设定不同的抵偿高程面。 这种情况就要选择表一中的“坐标系统四”。

由于整个测区跨度100km，如果中央子午线设置为测区中央（通过B点），那么当最大Ym=50km，高斯投影变形最大△S₂=30.8mm。

要保证△S = △S_A + △S₄ = 0，抵偿高程面的每个分区投影面高差为

△H =- R = - 196m。

2、当测区约在Y_m =10km处每千米变形1.2mm，目前全站仪测距的最高精度也只达到1ppm+1mm，因而当测区离中央子午线小于10km时，不用考虑高斯投影变形的影响，只需要考虑抵偿高程面投影变形改正就可以了。

3、整个测区跨度100km，高差1000m，如果高差变化分布均匀，整个测区分5个独立抵偿高程面，一个中央子午线就可以满足工程需要。如果高差变化分布不均匀，可以适当调整中央子午线的位置，达到减少抵偿高程面数量的目的；或者每个分区设定不同的中央子午线和抵偿高程面，减小距离投影变形。

4、当投影面不是参考椭球面，而是大地高程为H₀的某个投影面时，从低投影面改正到高投影面时，边长变长；当从高投影面改正到低投影面时，边长变短。当要考虑高斯投影改正时，由于高斯投影改正是正，要充分估算测区高斯投影改正的变化范围，选择合适的投影抵偿高程面，一般是测区最低的抵偿高程面，这样抵偿高程面的投影改正为负；如果不考虑高斯投影改正时，直接选择测区的平均高程面，抵偿高程面的投影改正为正态分布。

四、结论

测区范围大小、地形高差变化、起算点的情况、工程精度要求等，都会直接影响到抵偿高程面和中央子午线的选择，因而在实际测绘工作过程中，以技术设计精度为要求，尽可能采用较少的独立坐标系，提高测绘效率。

参考文献：

（1）宁津生、陈俊勇等，测绘学概论，武汉大学出版社

（2）孔祥元、郭际明，控制测量学，武汉大学出版社

[作者简介]：杨先恩（1973-）,男，测绘工程师，现为公司测绘项目技术负责人，长期从事地形测量、矿山测量、地质灾害治理工程变形监测、市政测量、水利水电工程测量及不动产测绘等工作。

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