含参数一元二次不等式的解法

含参数 一元二次不等式的解法

张海燕

七台河市第二中学

我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是 或 （其中 均为常数， ）.解含参一元二次不等式的相关问题对于基础薄弱的同学来说是一个难点.为了帮助这些同学解决此类问题，本文将相关解题方法进行简化、总结，帮助同学们理解和学习.下面我们通过例举进行具体的分析说明.

类型一 解二次项前不带参数的一元二次不等式

1、对应方程 （其中 均为常数， ）可以进行因式分解.

方法：所求解的一元二次不等式对应的一元二次方程 可因式分解为 （ 为方程的实数根）的形式，则分类讨论的关键在于通过比较两根 的大小，确定参数讨论的界限，进而解出 的取值范围.

例1 解关于 的不等式 .

分析：对应方程 可因式分解为 的形式，讨论两根 的大小，即可解出 的取值范围.

解：原不等式等价于 ，所对应方程 的两根是

当 时，不等式的解集为 .

当 时，不等式的解集为 .

当 时，不等式的解集为 .

2、对应方程 （其中 均为常数， ）不能进行因式分解.

方法：所求解的一元二次不等式对应的一元二次方程 不能进行因式分解，则分类讨论的关键在于判别式，此时根据判别式

确定参数讨论的界限，解出 的取值范围.

例2 解关于 的不等式 .

分析：对应方程 不能进行因式分解，此时根据判别式

确定参数讨论的界限，求出 的取值范围.

解：原不等式对应方程 的判别式为

（1）当 ， 时， 的两根为

或 ，不等式的解集为 .

（2）当 ， 时， 的根为 ，

不等式的解集为 .

3. 当 ， 时, 不等式的解集为 .

综上所述：当 时，不等式的解集为

.

当 时，不等式的解集为 .

当 时，不等式的解集为 .

类型二 解二次项前带参数的一元二次不等式

1、对应方程 （其中 均为常数， ）可以进行因式分解.

方法：所求解的一元二次不等式对应的一元二次方程 可因式分解为 （ 为方程的实数根）的形式，则分类讨论的关键仍然在于通过比较两根 的大小确定参数讨论的界限. 另外，需要注意的问题是二次项前带参数与二次项前不带参数不同，参数的范围决定对应二次函数 的开口方向，影响对应一元二次不等式的解集.

例3 解关于 的不等式 .

分析：对应方程 可因式分解为 的形式，讨论两根 的大小，即可确定参数讨论的界限，根据参数的不同取值范围，求出不等式相应解集。.

解：原不等式等价于 ，所对应方程 的两根是

1. 当 时，即 ，不等式的解集为 .

2. 当 时，即 ，不等式的解集为 .

3. 当 时，即

1. 当 时，不等式的解集为 .

2. 当 时，不等式的解集为 .

综上所述：当 时，不等式的解集为 .

当 时，不等式的解集为 .

当 时，不等式的解集为 .

当 时，不等式的解集为 .

2、对应方程 （其中 均为常数， ）不能进行因式分解.

方法：所求解的一元二次不等式对应的一元二次方程 （其中 均为常数， ）不能进行因式分解时，则分类讨论的方法和关键点仍然在于判别式，此时根据判别式

确定参数讨论的界限，此类题型要注意的是二次项前系数的正负受参数范围的影响，解不等式时容易出错，读者需注意根据不同参数范围求出其相对应的解集.

例4 解关于 的不等式 .

分析：对应方程 不能进行因式分解，此时根据判别式

确定参数讨论的界限，求出 的取值范围.

解：原不等式对应方程 的判别式为

（1）当 时，即 ， 的两根为 或 ，

1. 当 时，原不等式的解集为 .

2. 当 时，原不等式的解集为 .

2. 当 ，即 ，

1）当 时，原不等式的解集为 .

2）当 时，原不等式的解集为 .

（3）当 时, 即 ，

1）当 时，原不等式的解集为 .

2）当 时，原不等式的解集为 .

综上所述：当 时，原不等式的解集为 .

当 时，原不等式的解集为

.

当 时，原不等式的解集为

.

当 时，原不等式的解集为 .

当 时，原不等式的解集为 .

解带参一元二次不等式，除掌握上述方法之外，熟练掌握二次函数的图象特征，做到眼中有题，心中有图，也是解带参数一元二次不等式的关键.

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