齿轮轮齿承载接触分析 (LTCA)的模型和方法

韩彪

西安德立创自动化科技有限公司 710100

摘要：提出了齿轮承载接触分析模型。研究了在缺陷状态下，齿面的精确几何特性及其所产生的齿面和齿间自由度。利用有限元柔度系数法对齿轮及其支承变形进行了计算，并对其进行了几何与力学分析。

关键词：齿轮轮齿；承载接触析；LTCA模型

引言

LTCA技术是目前国内外研究的热点之一。齿轮学中，它是进行几何设计和力学分析的桥梁。研究各种齿轮尤其是圆锥齿轮的结构、分析和制造技术具有重要意义。但还没有解决几何分析与力学分析相结合的问题，有的研究主要集中在几何分析方面，力学模型过于简单，有的研究在几何分析方面不够充分，造成机械变形；有的研究过于繁琐，无法应用于技术领域，所以本文是一种将齿轮几何力学分析与计算方法相结合的 LTCA模型。该方法计算简便，仿真度高。

1齿面展成与接触分析(TCA)

已知主、被动齿轮的齿面加工方式为Ec1、Ec2，则每个齿面可分别用 ui、 li表示，并用与刀具固定的坐标系 Sci表示

（1）

式中r

ci——齿面位置次向量

nci——齿面法线矢量

通过刀具和齿轮的运动包络线生成齿轮齿面，并将刀具齿面方程转换成 Si坐标系， Si系与齿轮箱连接

（2）

式中 ——齿轮加工转角

[M]i,ci,——刀具坐标系与齿轮坐标系

Si的4 X 4转换矩阵

[L]i,ci——其中3X3的转动子矩阵

由工具齿套系列加工齿面，应符合下列啮合方程：

（3）

式中 ——刀具与齿轮的相对速度

由式(3)解出 并代入式(2)中,得

（4）

把所得到的齿面方程(4)转化为固定于齿轮机箱坐标系的 Sf

（5）

hi齿轮组在齿轮组啮合时的转角

变换矩阵[M] f, i从坐标系 S到坐标系 S

[L]fi——其中的转动部份

若齿面通常有一对齿轮，则在接触点的两个齿面应分别有一个共同的位置矢量和一个共同的法向量。

（6）

上面的每个矢量方程 是一个单位矢量，所以有五个独立的非线性代数方程h1，它可以按从确定的初值中选择的步长递增赋值。对每一个h1，相应的 和h2可以从 等式(6)中移除，而等式(4)中的 UI和可由当前接触点和齿面啮合路径决定。对每一个瞬时接触点，都能确定其主曲率和主方向。

在由于安装或传动支撑系统的变形而改变齿轮的相对位置时，转换矩阵[M] f. i.包括此变化。所以本文在分析时考虑了误差和变形的影响。

2齿轮啮合时的齿间间隙

从理论上讲，从动轮的实际角和方向盘角的变化对齿轮副传动误差的影响

（7）

上述推导中，齿轮是点齿接触线接触齿轮因空载而产生误差，由于存在修形和误差，因此线接触齿轮副在无载状态也是点接触。线接触通常来说只是一种较为理想的状况，在承载过程中，当短轴小于接触椭圆时，就与线接触较为接近。因此可以得知，以上推导公式适用于两种接触形式。

从公式(6)可知，承载开始时，两个齿面只在瞬时接触点M0处接触，M0的主向是当前接触椭圆的纵轴，其他离散点的齿面是自由的。

其中M0点的单位公法线是 ,M是沿主方向上的任一离散点,在固定坐标系Sf中向量 已经确定。由主方向和离散点选取密度决定由M0到M的向量 。则位置向量 为

（8）

过M作 的平行线,分别交齿面E1和E2于M1和M2, 就是M点处的齿面间隙。E1的方程为 ,h1为齿轮转角,已经确定, 是齿面参数,用来确定Sf中M1的坐标

由于 ，因此有

（10）

式中 的3个分量是nx、ny、nz，为了得到u1、 ，可以通过解公式（10）进行获得，然后将式(9)代入，得到 。重复以上方法求出 ，对齿面间隙进行确定 。决定齿面载荷分布的主要因素就是齿面间隙。

3LTCA的模型

当齿面被忽略时，假定 n法向载荷P1…当同时沿着齿面 PN的电流与主接触方向施加时，第 i位移点的法向位移为：

（11）

在这个公式中，J点的法向力单位是fji，I点的法向位移则用柔度指数来代替，然后对工作齿面上的网格节点的柔度指数进行计算，之后进行插值，最终明确电流接触主方向上的离散点的柔度指数。

假定两组齿轮(I和 II)同时接触其中，沿主方向的横截面用接触曲线表示，i表示每一齿对上的瞬时接触点，沿主方向的离散点用j表示，接触前的初始间距用w表示，接触变形后的最终间距用d表示，离散点上的支撑反力用p表示，其中Z是刚体接触量，大写P表示总法向载荷。在i点，wi=Wi；在j点，wi=bj；bj是j为齿面间隙

轮齿接触可由下式描述，

（12）

该方法是由已知参数 F, P, W和未知参数 PD, Z组成的非线性规划，其目的是使变形量最小，并用改进的正则形式求解。研究发现， P是齿面上的载荷分布， Z是当前联接位置荷载作用下的位移传递误差， Z可转换为角度误差。齿副承载啮合全过程可由啮合周期内各点接触位置来确定。

3.1斜齿轮的LTCA

以上述LTCA方法为例进行了计算。考虑到凸出的齿廓，齿高中大约有12μm。

在理想情况下，当齿轮轴偏移时，载荷移动到齿宽的一端，从而引起载荷和张力集中。

从强度分析和振动分析中均能得到载荷分布，因此 LTCA在齿轮箱几何与力学分析中起着桥梁作用。

3.2弧齿锥齿轮的LTCA

齿轮副的齿面分布在50纳米的输入时间。考虑到轴的扭转和弯曲，从而使接触标记移向大端。为了简化计算，在计算模型中没有考虑轴承变形和贮藏室变形，运动量较小。

4结论

（1）建立了考虑精确几何特征、齿面、齿形变形、支撑变形及误差等几何及力学因素的齿轮箱 LTCA模型，仿真程度较高。

（2）在 LTCA工艺中，将柔度系数法应用于齿形成形。对于掩模的全过程，仅通过有限元计算就可以得到齿形变形。

（3）为了节省计算机内存和计算时间，可以对一对齿模型进行多组齿的啮合加载。

参考文献

[1]董宇.某直升机主减速器新齿形齿轮接触承载能力研究[D].安徽:合肥工业大学,2016.

[2]李纪强,李炎鑫,陈超, 等.变速变扭高承载齿轮传动胶合失效边界研究[J].机械传动,2021,45(1):1-8.