抓住度量本质，促进数学建模

抓住度量本质，促进数学建模

刘淑萍

濮阳市昆吾小学，河南 濮阳 457000

摘要：平行四边形面积，在平面图形面积的学习中起着承上启下的作用。不同版本的教材，呈现的都是数方格和转化法推导平行四边形的面积计算公式，教师也多是按照教材编排进行教学设计。但在对本课的深度思考和教学过程中也有很多的疑惑。比如：当我们问及平行四边形面积公式的推导过程时，学生想到的都是割补转化，几乎没有学生提及数方格。那么教材中呈现数方格的目的何在？为什么“不满一格的按半格计算”？数方格和转化法之间有没有本质上的关联？能不能把数方格与转化法进行有效整合？

关键词：数学建模教学；思想渗透；教学经验分析

引言

为解决这些疑惑，笔者在执教“平行四边形的面积”一课时做了进一步的问题追问、分析和思考。明确：不管是数方格还是转化法，本质都是通过面积的度量，找到面积与边长之间的关系，从而推导面积公式，建立面积公式模型。为此设计这节课时关注了教材问题情境的整合与操作活动材料的开放，学生的学习活动经过了质疑、验证、再质疑的过程，既渗透转化的数学思想，又以度量为主线推动数学建模，发展学生思维。

一、了解学生思维原点，激活度量经验

一节课的教学需要站在学生的认知原点，了解学生的认知基础。平行四边形的面积这节课，学生思维的原点在哪里？从理论上看是长方形面积公式的推导过程。把相等面积单位紧密铺排进行度量，在度量中理解面积计算的本质。但对学生学习的前置知识调查结果显示：学生对长方形的面积计算公式能够熟练掌握应用，而对面积公式的推导过程却明显遗忘。分析学生遗忘的原因，有两点：一是课堂教学中学生没有经历面积度量的操作活动，只是从教师演示的直观课件上观察而得到的结论。二是教师在教学的过程中过分强调公式的掌握和应用，而对面积公式的意义理解不够。

基于前测情况，平行四边形的教学需要先激活学生的认知原点，回顾面积度量的本质含义。首先，求长方形的面积，就要看这个图形中包含多少个面积单位，也就是说面积的大小是用面积单位去度量的，是若干个面积单位的叠加。其次明白“长×宽”的本质含义。用面积单位度量，沿着长摆一摆，每行摆了几个面积单位，沿着宽去摆，摆了这样的几行，长乘宽就是每行面积单位的个数与行数相乘。再次，直观上是用长度单位去量长和宽的长度，头脑中要想象到所对应的格子数（面积单位的个数），理解长与行、宽与列、面积与长宽之间的对应关系。为平行四边形面积的学习做好准备。

平行四边形面积的教学就要抓住面积度量的本质，设计有效的数学活动，引导学生在操作中推导平行四边形面积的计算公式，促使学生自主建构与创造。

二、整合教材问题情境，引发度量需求

平行四边形面积的学习，不同教材呈现的文本信息略有差异：人教版是借助平行四边形花坛引入，利用数方格、观察数据初步感知；青岛版教材呈现的是平行四边形玻璃，给出了相应的底和高；北师版教材是用平行四边形草坪引入的，呈现平行四边形的底、高和邻边的长度。研读教材呈现文本材料，利于学生依据数据进行合情推理，提出质疑问题，但不能创设度量冲突，激起度量需求。为此整合教材问题情境，以平行四边形草坪为生活情境引入，用一张没有任何数据的平行四边形纸作为载体，以“如何求这个平行四边形的面积”这一核心问题引领，促使学生进行度量探究活动。

学生对数据的度量、计算有两种情况：①测量平行四边形的两条邻边，邻边相乘求出面积。②测量平行四边形的底和高，底乘高求平行四边形的面积。

出现不同情况的原因有三点：①已有知识方法的迁移。长方形的面积＝长×宽，是两条邻边相乘，长方形是特殊的平行四边形，平行四边形的面积就可以用邻边相乘来计算。②直觉判断引起的错觉思维。长方形框架能够直接推拉成平行四边形，同样，平行四边形框架也可以推拉成长方形，它们是能相互转化的，因此可以用同样的方法计算面积。③知识方法的提前感知。学生在学习或者生活中，偶然听或看到相关知识，对学习内容有提前感知。

经历了测量数据、尝试计算，唤醒了学生头脑中面积度量的基本方法经验，再次体会二维空间的面积度量本质，同时激起认知冲突：同样的一个平行四边形，为什么计算出的面积不同？怎么计算才是合理正确的呢？在认知冲突中产生辨析、探究的需求，为进一步的度量平行四边形面积做好准备。

三、开放操作活动材料，感悟度量本质

面积属于二维空间的度量，长方形的面积用长和宽两个量表示，那么平行四边形的面积也要用两个量表示，对此学生已有一定的经验，这也是学生想到测量两个数据的原因，但对平行四边形面积度量的本质需要在充分的操作活动中感悟。

基于备课时对教材的研读与思考，依据度量的运动不变性、叠合性和有限可加性等本质属性，在验证猜想、推导平行四边形面积计算公式时准备了充分的操作材料，以求在操作活动中充分感悟面积度量本质，促进面积公式的建模。

首先，方格纸的使用。学生利用方格纸数数的过程中，对不满一格的进行分割、平移，拼补成完整的一个面积单位。在利用方格纸拼补的过程中，发现与长方形面积拼摆中相同的行列结构，再次感悟平行四边形面积的含义。借助方格纸上的凑整经验，进行平行四边形的割补转化，推导公式的过程中，既体会到把平行四边形转化成长方形的合理性与必要性，同时也经历方格的割补凑整到图形的割补转化的递进，感受两种方法本质上的关联，实现数方格与转化法的有效整合。

其次，长方形（长7cm宽5cm）与平行四边形（底7cm邻边5cm）的直接比较。叠合比较可以直观看出两个图形的面积不等，引发新的质疑，呈现新的问题情境，同时也促使学生有意识地唤醒已有的认知，去寻求更确切的解决问题的方式方法。

再次，转化法推导公式。“等积转化”是推导平行四边形面积计算公式的重要思想，需要学生在操作中经历图形割补转化的过程，同时教师要对转化过程进行完整的梳理呈现。如此不仅仅是为了观察推导面积公式，更重要的是在此过程中抓住度量本质，渗透数学思想，发展空间观念，建构数学模型。

有了开放的活动材料和充分的操作探究，学生才能从不同的维度思考，在不同操作中积累数学活动经验，从而丰富对平行四边形面积概念的认识，形成完善的表象，促进对概念的理解与建模。

四、深度理解面积模型，凸显度量思想

对概念的理解，需要不断深化。课堂练习设计是重要的一环。常规课堂中的练习多是这样设计：看图求平行四边形的面积，利用面积公式解决问题。评价的指向也多在学生是否能够正确的解答，能不能熟练计算。这样的练习只能起到掌握公式的作用，却不利于学生的能力发展、模型建立和度量思想的渗透。

通过前测可知，对于长方形的面积，学生知道是什么而不知道为什么的原因在于：教学中教师注重的是公式的掌握和运用，忽略了面积计算的意义。基于上述原因，在平行四边形面积公式应用练习中，设计了层次性的练习：第一层次：看图计算；第二层次：给出两组对应底和高，求平行四边形的面积；第三层次：利用提供的数据，能求出平行四边形的面积吗？（①给定邻边长度；②给定一组对应的底和高，③一个底和两条不同的高）

除关注练习的层次之外，在练习中还嵌入了直指面积概念本质的问题：看到这个平行四边形，你的头脑中想到了一个什么样的长方形？通过沿不同的高进行剪拼，可以割补成不同的长方形，进一步完善对平行四边形面积概念的掌握。

结语

如此，在应用公式的同时，头脑中勾画出转化后的图形，这不仅是对面积公式的掌握，更是对平行四边形面积含义的理解。在此过程中，勾通图形之间的关联，抓住度量本质，凸显转化方法，渗透变中有不变的函数思想，理解平行四边形面积公式，发展学生的空间想象能力，形成概念的准确表象，真正实现数学建模。

参考文献：

【1】杜山，韩露，在异课同构中把握度量关键——基于长度,面积,体积单位教学的实践与思考【J】《安徽教育科研》2020

基金项目：【本文系河南省教育厅关于公布河南省教育科学“十三五”规划2020年度一般课题《基于问题提出的小学数学度量概念教学研究》（立项编号：2020YB1088）的研究成果】