数学期望在现实生活中的应用

数学期望在现实生活中的应用

杨付贵

广州工商学院 基础教学部 　 　广东 佛山 三水 528138

摘要：在我们的日常生活中有许多随机现象和规律，需要用概率统计的方法对其进行研究。由于数学期望是判断变量规律的基本依据之一，是概率论与数理统计课程中一个非常重要的数字特征，在我们生活中起到了至关重要的作用。本文通过一些现实生活中的实际例子，简介数学期望在我们现实生活中的具体应用。

关键词：数学期望；概率统计；应用

所谓数学期望就是随机变量的平均值，简称为均值。它是在研究现实生活中各种随机现象和统计规律中，经常会用到的重要一个因素。下面通过现实生活中的一些具体实例，阐述数学期望在实际经济生活中的作用和数学期望的价值意义。

1. 在商店进货问题中的应用

随着我国经济的不断增长，各个生产企业的管理者以及商品销售商店的经营者一直都在追求

利润的最大化，为此，生产企业的管理者和商品销售商店的经营者，对下一个阶段商品的需求和供应量，往往需要进行科学的预测和估计，然后，根据所预测的数目计划最佳的生产量和策划合适的销售方案。因此，经验丰富的生产企业的管理者以及商品销售商店的经营者，都会根据以往统计的数据，利用微积分和概率论的相关知识，求出不同商品的销售量和生产量的利润数学期望值，利用不同商品的利润的期望值来生产销售各种商品。以期达到利润的最大化。

例1.设某种商品的每月需求量 是服从[10，30]上均匀分布的随机变量，而经销商店的进货数量为区间[10，30]上的某一整数，假设该商店每销售该商品一单位可获利500元；若供大于求则处理，每处理一单位该商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每一单位该商品仅获利300元。为使商店所获利润的数学期望不小于9280元，试确定最小进货量。为使期望利润最大，最佳进货量是多少？

解：由于每月需求量 的概率密度函数为 ，为了使商店所获利润的数学期望不小于9280元，我们首先要确定进货单位数 ．设 为实际需求量，进货单位数为 ，先将 暂时看作常数，则经销商店的利润为 ，这时，

利润的期望为

(1).令 ，即 ，解得为 ，所以，最小进货量为21个单位。

(2).将 对 求导，并令其为零，即 ，解得 ，又 ，使期望利润最大时的最佳进货量是23个单位。

2.在保险问题中的应用

购买保险是我们日常生活中经常遇到的一件事情，高额的赔偿金是我们选择各类保险的一个重要因素，通过下面的实例，我们看到，保险公司才是保险的最大受益者．

例2. 在某家保险公司里有1万名司机参加车辆被盗保险，每人每年付 3百元被盗保险费。如果车辆被盗，司机可向保险公司领得 元的赔偿金。假设在一年内某一车辆被盗的概率为 0.2％，(1).如果保险公司获得收益， 的值应该是多少？(2).如果 元，那么保险公司获得的资金期望值是多少？

解：(1).假设保险公司从一个参保司机得到收益资金为随机变量 ，则 的概率分布如下： ， ，因此，

。故当 的数学期望大于零，即 时，可得 ，所以，当 时，保险公司是获取收益的。

(2). （元）

3.在彩票中奖问题中的应用

买彩票、摸奖、有奖销售中的高额大奖，十分刺激某部分人的心灵，这些人都期望自己拥有那份幸运，然而，事实真如我们期望的那样吗？下面实例，我们通过计算买彩票中奖的期望值可以看出，在有奖销售中的中高额大奖的可能性十分渺茫，几乎不可能。

例3. 某商场开展一次抽奖活动，每抽取一张奖卷，需要交5元钱． 按规定 一百万张奖卷中，特等奖一个，奖金5万元; 一等奖10个，各奖 500 元; 二等奖 100个，各奖200 元; 三等奖 1000 个，各奖 100 元; 四等奖10000个，各奖10 元．五等奖100000个，各奖3元．某人一共抽取了500张奖卷，花费了2500元，问(1).他抽到特等奖的可能性有多大？(2)他期望得奖多少元?

解：(1).因为任何一张奖卷得特等奖都是等可能的，所以，抽取500张奖卷，相当于做了500次简单实验，每次成功的概率为百万分之一，根据n重白努力实验，我们可得：他抽到特等奖的可能性为： .这个概率值是非常小的，根据实际推断原理：小概率事件在一次实验中，几乎是不可能发生的。因此，他抽到特等奖几乎是不可能的。

(2).我们先计算每一张奖卷得奖金数 的期望． 依题意， 的分布列为:

	50000	500	200	100	10	3	0
	0.000001	0.00001	0.0001	0.001	0.01	0.1	0.888889

所以， 的数学期望为

(元)

从而，抽取500张奖卷期望的奖金数为 (元)。

由此我们可以看出，得奖的金额是很小的．

4.在疫情检测问题中的应用

例4. 目前，世界各国新冠病毒的传播，需要对人群进行核酸检测，假设对N个人的血液进行核酸检测，可以采用两种方法: 第一种: 逐个检验，这样需要检测N次．第二种: 把k个人的血样合在一起检测(设N是k的倍数，并且N很大)．若化验结果为阴性，则说明这k个人的血样都呈阴性，这样对这k个人只需要一次化验即可; 若k个人的血样合在一起呈阳性，说明k个人中，至少有一个人的血液为阳性，这时就需要对这k个人的血样再逐个检测，这样，这k个人就需进行k + 1次检测．设对每个人的检测结果为阳性的概率都为 ，求: ( 1) k个人的血样混在一起检测呈阳性的概率; ( 2) 在第二种方法下，需要进行检测次数的数学期望．

解：(1).因为对每个人的检测结果为阳性的概率都为 ，那么，对每个人的检测结果为阴性的概率都为 ，从而，k个人的血样混在一起检测呈阴性的概率为 。故k个人的血样混在一起检测呈阳性的概率为 。

则 。又 ，所以， 。

因此，理论上，如果 ，则我们选择第二种方法，否则用第一种方法。

由于篇幅所限，我们仅列举了数学期望在现实生活中的应用的几个例子，事实上，数学期望在现实生活中的应用十分广泛。比如，在经济学、管理学、决策论等方面都有着非常重要的应用。此外，从上述所列举的例子中，不仅使我们可以体会到了数学期望的奇妙之处和应用的广泛性，而且，数学期望也是减少随机性的重要手段，在涉及概率统计和决策时，往往会利用到数学期望的理论， 但使数学期望只是随机变量的一种平均值，在实际问题中往往要结合其他的数字特征，比如方差，才能更好的解决实际问题．

参考文献 ：

[1]刘丽.数学期望在现实生活中的应用 [Jl农家参谋．2019(2)：155．

[2]贾会芳.数学期望及其应用[J]赤峰学院学报：数学学习与研究 2019. 9：2，5

[3]马玉星.谈数学期望在现实生活中的应用[J]．数学学习与研究 2012. 5：118

[4]李桂范.苏敏.概率统计中数学期望在决策中的应用[J]．222-223

[5]盛骤.谢式千.潘承毅.概率论与数理统计（第四版）[M].高等教育出版社 2010.10

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