一道奥赛题折射的物理模型

刘胜利

安庆市田家炳中学

摘 要：高中物理的学习很多都讲究模型的研究，因为物理模型就是物理知识点的浓缩和体现。因此在平时的物理教学中，教师们都非常注重物理模型的教学和点拨，从模型的建立过程到模型的关键点解说以及模型的解题过程。而在高中曲线运动的知识点中，常常以抛体运动和圆周运动常见，因为很多同学都非常熟悉并且掌握很好。因此在平时的物理解题时，惯性思维都会引导我们进入抛体运动或者圆周，而在一些奥赛题或者高考压轴题中可能会出现很复杂的运动模型，那就是摆线运动。

关键词：物理模型 电磁复合场 摆线运动

引 言：通过奥赛题帮助学生认识和学习摆线运动模型，在电磁复合场中逐步建立摆线运动模型过程。同时将模型应用于2008年的江苏高考题，体现摆线运动模型在电磁复合场中的解题优势。最后通过总结和归纳帮助学生进步认识如何有效分解速度才能达到建立摆线运动模型的条件。

一 、奥赛题分析

如图1所示，在空间有一个与水平面平行且垂直纸面向里的足够大的匀强磁场B.在磁场区域有a、b两点，相距为s,ab连线在水平面上且与B垂直.一质量为m、电量为q(q>0)的粒子从a点以初速度v₀对着b点射出，为使粒子能经过b点，试问v₀可取什么值?

图1

分析：题中有“水平”二字，且未限定带电粒子为微观粒子，所以重力作用不可忽略。考虑重力，如果没有磁场，带电粒子不可能击中b点。有磁场存在，若是洛伦兹力恰好与重力抵消，粒子将走直线击中b点，如果两力不能抵消，粒子将走曲线轨道,与正交电磁场中带电粒子的运动模式类似。

解：带电粒子以初速v₀从a点射出，运动轨迹有多种可能，是直线还是曲线。

1. 若满足重力与洛伦兹力平衡的条件.则作匀速直运动至b点.此时速度设为v₀₁，

即qBv_01- mg=0,

2、若粒子速度满足上述条件，则可将v₀分解为v₀=v₀₁+v。

粒子的运动可看成是以指向b的匀速直线运动和以v为速度的匀速圆周运动的合运动。 为确保击中b，圆周运动这一分运动必须恰好是完整的N圈，这时匀速直线运动的位移也正好是s。

磁场中匀速圆周运动周期T与v无关，大小为：

因而有s=NTv₀₁， （N=1,2,3）

二、模型说明

在轮子上任选一点A，做个标记。当轮子前进时，A点形成的轨迹即为摆线，又称圆滚线或旋轮线。详细内容可参见百度百科：摆线

该点一边参与轮子向前进的运动，一边绕着轮子的中心做圆周运动。由此可见， 摆线实际上是一个圆周运动和一个直线运动的合成。

例题说明：如图2所示，在相互正交的电场和磁场中，电场竖直向下，磁场垂直纸面 向里。有 一个到正电的质量为m的小球，由静止释放。如果以竖直向下为y 轴正方向，水平向右为x 水平向右为 的正方向，垂直纸面向里为 z轴正方向。试求小球位置坐标随着时间的变化规律以及小球运动过程中速度的最大值和最小值。不计重力。

图2

本题运动情况较为复杂，小球最初受到电场力的作用而向下做加速运动，但一旦小球动起来便会受到一个向右的洛伦兹力。由于电场力做功导致小球的速度在改变，故而洛伦兹力的方向和大小也在改变，直接求解很困难。初始时刻，小球速度为零，我们可以把小球的运动看作是向左和向右以共同速度v0运动的两个运动的合成。

在保证满足qE=qv₀B这样时，水平向右的运动产生的洛伦兹力竖直向上恰好和竖直向下的电场力平衡， 故而小球在x 轴方向上一直做匀速直线运动，也能保证竖直向上的洛伦兹力总是能和竖直向下的电场力平衡，从而保证小球在x轴正方向一直做匀速直线运动。而初速度沿着x负方向的这个运动仅受到一个向下的洛伦兹力，故做匀速圆周运，因而小球的实际运动可以看作x方向的匀速直线运动和一个圆周运动的合成。其轨迹是一条摆线。该摆线相当于一个向右运动的车轮上的某点形成的轨迹。

三、模型应用

( 2008年江苏高考理综卷第 14题) 在场强为 B的水平匀强磁场中, 一质量为 m、带正电 q的小球在 O点静止释放, 小球的运动曲线如图 3所示 .已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到 x轴距离的 2倍( 重力加速度为 g) .求:

( 1) 小球运动到任意位置 P( x, y) 的速率 v？

图3

解答：运动时只受两个力，因为洛伦兹力永不做功，所以整过过程只有重力做功。

由 动能定理 ，知道

( 2) 小球在运动过程中第一次下降的最大距离y_m

图4

分析；由模型解读可知道，小球在o点的零速度可以分解为水平向右的速度v₁和水平向左的速度v₂（图4），且能满足 。这样小球以水平向右的速度v₁运动时所受的洛伦兹力与所受的重力相抵消，这样就可以把小球复杂的运动分解为水平向右的匀速直线运动和以o点做圆周运动最高点的逆时针的匀速圆周运动，如图所示。

解答：因此小球在运动过程中第一次下降的最大距离应该为该圆周的直径，所以可以得到：

，

( 3) 当上述磁场中加一竖直向上场强为 E( )的匀强电场，求从o点静止释放的粒子后最大速率为？

解答：方法和（2）相同，只需要把重力场和电场合成为一个场就行。最大速度就是圆周运动的最高点，也就是圆周运动速度和匀速直线速度相加就行，在此不再解答。

四、总结归纳

曲线运动的求解是高中物理中的常见题型，尤其是抛体运动和圆周运动。而在抛体运动中，我们高中物理课本的解题思路就是合成与分解，一般是遵循平抛运动模型解答。那么圆周运动主要是建立动态的坐标系，然后就是分析向心力，根据题目的需要列出不同的向心力公式。在复合电磁产中，这两种物理模型也多为分开考察，学生一般也能顺利解答。

在一些省份的高考压轴题中或者奥赛题中可能会出现不同与以上两种的模型，那就是摆线运动，很多同学碰到以后就找不到合适的方法解答了。在物体运动的分析求解中，原则上讲无论怎么分解都可以，但是有的分解方式得到的运动比较复杂以至于我们无法求解，那么这种分解方式就不是最优处理办法。在分析物体运动时，不仅仅需要考虑初始状态还要考虑中间任意状态。这是因为洛伦兹力是个变力，随着速度的改变而改变，因此只分析初始状态是不可以的。就如刚才那个问题， 如果只分析初始状态，由于物体还没运动，根本不受洛伦兹力，那么就得出物体将做匀加速，这就和第二种做法是同样的错误，错误的原因都在于洛伦兹力在以后的运动过程中变了。那么这种问题应该如何解决这个问题呢？在这种复合场中粒子的摆线运动，为了保证物体所受到的洛伦兹力大小始终不变。就必须在分解速度的时候分解出一个洛伦兹力把电场力或者重力平衡掉，这样才可以保证在以后的运动过程中物体的洛伦兹力大小和方向始终不变。

参考文献

著作类

[1] 蔡晔：《高考奥赛对接指导（第6版）》，机械工业出版社2013年版，第175页。

文章类

[2] 步国平，李锦云：《物理通报》2010年第10期。