曲径通幽花木深——谈高中数学“深度学习”的课堂构建

曲径通幽花木深——谈高中数学“深度学习”的课堂构建

谈琴

江苏省 宜兴市丁蜀高级中学

摘要：在进入二轮微专题复习阶段，是学生提升思维能力、解题能力的关键时期。本文以高三二轮复习中“与圆有关的最值”这一微专题为例，对如何采取教略而学丰，精略有致的方法构建高中数学“深度学习”课堂，进行了初步的尝试和探析。在课堂环节的设计上主要分：‘提问设疑、顺应---问题推动、引入---适时探究、深入’这三个环节展开。

关键词：深度学习、课堂构建、深度思维

正文：

本文以高三二轮复习中“与圆有关的最值”这一微专题为例，对如何采取教略而学丰，精略有致的方法构建高中数学“深度学习”课堂，进行了初步的尝试和探析。

一、提问设疑，顺应学生思维模式，展开教学内容

“深度学习”的第一步是如何引导学生展开自主研学，问题情境引导是最常用的导入方法之一。在教学过程中，教师应站在学生的角度，顺应大多数学生的思考方式来提出问题。

在微专题“与圆有关的最值”这一课，主要围绕圆外一点和圆内一点的相关最值问题展开。鉴于学生对求两点之间距离是比较熟悉的，所以从学生熟悉的内容为切入点，由如下问题展开了本课的内容。

点在圆外篇：

问题1：已知P(1,0)，Q为圆C： 上任一点，则 的最小值为.

生1：设 ，则 ，由圆方程知： ，代入得 ，可求得最小值为1.

生2：数形结合，可知 .

师：若将点P的坐标改为P(1,1)，Q为圆C： 上任一点，则 的最小值?

生:用数形结合比较简单. .

师:生1选用代数的方法将PQ的最值问题转化为一次函数的最值很好地解决了问题1,但对于变题,此种方法明显没有数形结合来得简捷.对于处理和圆上动点有关的最值问题,采取数形结合,变抽象为具体,不失为一条有效途径.

二、问题推动，串成一线，层层引入

在问题1的基础上，将圆外一定点改为圆外一动点，由两点之间距离的最值逐层铺垫展开，引入切线段长和面积的最值问题。由定到动，由线长到面积。

问题2：若P为直线 上任一点，Q为圆C： 上任一点，则 的最小值为 ；

师：点P由圆外一定点改为了直线上的一个动点，该如何解决呢？

生：不妨将点P固定，则可以把问题转化为求圆C外一定点P到圆C上的点Q的最小值问题。

显然当C、Q、P三点共线时 ,所以当 最小时， 最小.当 垂直于直线 时， 最小.

师：想法非常好。利用先定而后动，数形结合巧妙地解决了多动点问题。这种方法也经常用于求解析几何中的多动点最值问题。

问题3：若P为直线 上任一点，由点P向圆C： 引切线，则切线长的最小值为 ；

问题4：若P为直线 上任一点，由点P向圆C： 引切线，所作切线为PA，PB,A、B为切点，则四边形PACB面积的最小值为 ；

学生通过分析，透过问题的表象，很快就寻找到了问题的根源，发现了这两题和上题的联系。

三、适时探究，凸显重难点，引导思维逐步深入

讲解是课堂教学中重要的一个环节。然而该如何讲，讲多少，讲什么都是需要考虑的问题。教师在课堂教学过程中，通过适当的提问、启发、讲解，引导学生展开深度的自主探究，引导其思维逐步深入。

问题5：若P为直线 上任一点，由点P向圆C： 引切线，所作切线为PA，PB,A、B为切点，当PC= 时， 最大；

师：大家可以谈谈自己的解题思路吗？

生1：由图像结合对称性可知 .所以这个问题其实就是求 的最大值。

师：不错，那接下去如何求 的最大值呢？

这时候有一部分同学就卡在那儿没声了。

师：角的最值往往通过三角函数的最值来求得，大家通过观察图像，看看选用 的哪个三角函数值比较好呢？

生2：选用 比较好。

师：能说一下选择正弦函数的理由么？

生2：因为 ，正弦在这个范围内单调递增，所以当 最大时，也就是 最大。

师：很好。这种想法很合理。不过正切函数在 上也是单调递增的，为什么不选它呢？

生3： , ,两者相比较， 为定值 , 中 为动点，而 两个都是动点，显然 的最值更容易求。要求 最大，也就是 最小，其实就是上面的问题2.

通过这一系列的提问，对学生的思维进行适当的点拨，让这些看似孤立的、分散的内容在这些问题的层层递进下，利用数形结合构建起解决这类问题的通性通法。让学生真正学会如何做、理解为什么这么做。

四、方法提炼，思维渗透，提升能力

正所谓牵一发而动全身，让学生学会发散性思维，启发问题意识，能对同一问题进行多层面、多角度进行思考，学会由表及里地进行思考分析问题。

能力提升篇：

问题：已知P是圆C: 上的动点，Q是y轴上的动点，A（1,2）为定点，则 的最小值为 ；

变1：若点P在抛物线 上，点Q 在圆C: 上，则 的最小值为

变2：已知圆C： ，设圆M的方程 ,过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF,切点为E,F,则 的最小值为 。

这类解析几何中的多动点问题，一直是学生的难点。指导学生利用数形结合的方法，结合图像特征，寻找题中变量与定量间的联系，化动为静解决问题。

“深度学习”课堂是师生共同探讨的一种高效课堂，让学生在课堂中充分发挥其个性特征和主观能动性。意在培养学生深度学习的能力，让学生掌握高效学习的方式，学会深度思考，提升知识应用能力。教师需要做的是精心设计教学问题与解题策略，精心调适教学互动，精心规划探究步调，真正做到“深入、深究、深刻、深远”，帮助学生提升数学素养，促进其高阶思维的发展。