超导体的经典电磁理论

超导体的经典电磁理论

杜雨 曹国检

云南大学物理与天文学院， 650504

摘要

自超导现象被发现以来，众多物理学家致力于探索超导的物理机制和新型超导材料的研发。研究发现，超导体是量子多体系统，超导电性和迈斯纳效应是宏观量子效应，因此超导理论必须是建立在量子力学基础上的微观理论。然而，超导微观机理的建立经历了一个艰巨而曲折的漫长过程，直到超导发现近50年后，超导微观理论才被建立。在BCS理论出现并对常规超导体的超导电性进行解释之前，对超导电性的认识中，以经典电动力学为根本的唯象理论起到了非常重要的作用，其中包括伦敦唯象理论和金兹堡-朗道(G-L)理论，它们都在一定程度上对超导体的宏观电磁性质做出了解释。本文主要介绍伦敦唯象理论，其基本思想是以麦克斯韦方程为基础，建立超导电流与电场的局域关系，即伦敦方程，并由此对超导电性和抗磁性做出解释。

关键词：超导电性，抗磁性，二流体模型，伦敦方程

前言

超导的发现和发展，与低温的获得密切相关。1911年以来，陆续发现某些元素、合金、化合物或其他材料，当温度下降至某临界温度Tc以下时，其电阻变得微乎其微，这种现象称为超导电性。随着研究的深入，在1933年又发现超导体具有抗磁性，这种现象称为迈斯纳效应。超导电性和抗磁性是超导体最重要的两个宏观性质，一种材料是否为超导体，零电阻态和完全抗磁性必须同时具备。

超导现象发现之后，人们又陆续研究了其他金属和合金是否在低温下具有超导电性。20世纪70年代以前发现的超导体主要是元素超导体（包括金属和半导体）和合金超导体，临界温度一般为几K，最高不超30K。不难看出，金属和合金以及简单金属化合物的超导临界温度都很低，这些称为常规超导体。1957年，美国科学家巴丁、库珀和施里弗用电子——声子建立的BCS理论对常规超导体的超导电性成因及其一系列性质非常成功的做出了解释。理论的成功建立意味着人们对超导的认知更加深入，但低临界温度却意味着实现超导态需要依赖非常昂贵的液氦来维持低温环境，极大地制约了超导研究和超导应用。随着对超导的不断探索，新超导体带给人们的惊喜从来没有停止过。

回顾超导的发展史，不难发现，无论是常规超导体还是高温超导体，当一系列奇特现象被发现后，人们都致力于对其进行理论上的解释，正所谓知其然知其所以然，只有格物致知才能真正意义上的了解它，而这就要看理论上对其的解释成功与否。超导的理论建立经历了一个漫长而又曲折的过程，众多学者为此煞费苦心，在此期间诞生了不少理论。到目前为止，对于常规超导现象的理论解释取得了巨大的成功，而对高温超导以及一些非常规超导的理论解释却仍未完善。对超导现象的解释，最早的一个理论则是伦敦唯象理论，它在当时唯象地解释了超导体的超导电性和抗磁性，对最初人们认识超导电性的过程有着举足轻重的作用，是一个非常经典的理论模型，值得我们去认知。

1. 超导体的两个重要性质

1.1 超导电性——零电阻效应

在1911年4月8日，昂内斯等人在测量金属汞在低温下的电阻时，惊讶地发现当温度降至4.2K以下时，汞的电阻突然消失，基本可认为是零电阻态,而温度在4.2K以上时则处于正常态，如下图所示。这种显示超导电性的新物态定名为超导态，当冷却到一定温度以下时能表现超导电性的材料称为超导体。显然超导体可以处于超导态,也可以处于正常态，关键是温度。超导体失去电阻的温度称为临界温度,常用表 示,在 以上超导体呈正常态， 以下呈超导态，4.2K就是Hg的临界温度。不同的材料有不同的临界温度。

1.2 完全抗磁性——迈斯纳效应

研究表明，当材料处于超导态时，随着进入超导体内部深度的增加磁场迅速衰减，磁场主要存在于超导体表面一定厚度的薄层内。这个现象在1933年首先被迈斯纳发现,故称为迈斯纳效应。它表明，处于超导态的超导体决不允许磁场存在于它的内部，即超导体具有完全抗磁性。对宏观超导体，若把这个厚度看成趋于0，则可近似认为超导体内部磁感应强度B=0，超导体具有完全抗磁性，称之为理想迈斯纳态。实验发现超导体的抗磁性与其所经历的过程无关，也就是说这一磁特性与超导体在何种条件下转变为超导态无关。若将样品的温度降低使之转变为超导态，当加上外磁场时，只要磁场强度不超过临界磁场，则B不能透入超导体内部；若把正常态的样品置于小于临界磁场的外磁场中，当温度下降使样品转变为超导态时，B被排出超导体外。

2. 伦敦唯象理论

2.1 理论建设思路

经典电磁理论用宏观唯象的本构关系描写物质的电磁性质，例如，电介质的本构关系是E与D的关系，磁介质是B与H的关系，普通导体是J与E的关系。我们知道，麦克斯韦方程组是电磁现象的普遍规律，而超导电性和迈斯纳效应是特殊的电磁现象。如果能找到超导电流与E和B的关系，应当可以对超导电性和迈斯纳效应给出一定程度的唯象描写，这便是伦敦唯象理论的基本思路，其基本思想是以麦克斯韦方程为基础，建立超导电流与电场的局域关系。

2.2 二流体模型

超导体作为电磁系统,它应遵循麦克斯韦方程组所反映的电磁规律

其中，本构关系有

(3)

根据超导电性，人们似乎都会自然而然地想到将超导体视为仅仅是电阻为零的理想化的完全导体，即电导率 ,根据欧姆定律 可得理想导体内场强E为0，即

(4)

于是由场方程 可得，在理想导体中有

这就是说在理想导体中不可能有随时间变化的磁感应强度，(5)式只能给出B是一个与时间无关的函数或常数。但迈斯纳效应指出,超导体内部的B不仅是恒定的,而且恒为0。因此在表面以内 与B本身都应是迅速消失，故此完全导体模型不能描述超导体的电磁行为，但由此却可以看出迈斯纳效应与超导电性是两个独立的效应。因此我们需另寻一个合适的模型来描述超导体的完全抗磁性，这就是二流体模型，其建立过程如下所述。

当材料处于超导态时，一部分传导电子凝聚于量子态中并作完全有序运动，不受晶格散射因而没有电阻效应，其余传导电子仍属正常电子。即超导体内存在两种载流子——正常传导电子和超导电子，它们分别形成正常传导电流 和超导电流 ，若 ， ，则磁化电流与极化电流可以忽略不计，总电流密度为

这就是“二流体模型”。此模型下的麦克斯韦方程组为：

其中

2.3 伦敦方程

2.3.1 伦敦第一方程

在二流体模型下，正常传导电流遵从欧姆定律

为材料的电导率。因为超导电子运动速度远小于光速c，故可忽略磁力只考虑电场作用力，假定超导电子得运动不受阻力，并遵从经典力学方程

其中 为电子质量， 是t时刻r处超导电子的平均速度， 是该处的平均电场强度。注意

设超导电子密度为 ，则超导电流密度为

(13)

将（13）带入（11），得

即

这便是非线性伦敦第一方程，它给出超导电流与电场之间的关系。通常我们研究的都是线性化方程，即 ， ,则（11）式变为 ，进一步推导可得

此即线性化伦敦第一方程，接下来讨论的对象均是线性化的。方程给出了超导体中某一点的超导电流密度的变化率与该点的电场强度成正比的关系，它与(10)式所反映的正常电流密度与电场强度正比的关系形成明显对照和区别。应当指出，这个方程只是依据经典理论给出的一个假设，它不仅将超导电子看成经典粒子，而且也没有解释为什么超导电子的运动不受阻力。

2.3.2 伦敦第二方程

一般迈斯纳态下的超导体，磁场和超导电流主要存在于其表面一定厚度的薄层中，超导电流不能看成理想的面电流。当超导体外部存在磁场时，超导体表面两侧的磁场应当满足边值关系：

(或) （16）

电流与磁场是相互制约的。为了找出超导体内超导电流 与B的相互制约关系，取伦敦第一方程（15）式的旋度得

将场方程 代入(17)式得

即

由此可见矢量（ ）与时间无关，但可以有某种空间分布，它取决于超导体的初始态。伦敦唯象理论假设这个量为零，于是得到

这便是伦敦第二方程。

2.3.3 恒定情形下的伦敦方程组

伦敦第一与第二方程都是基于假设而得到的，它们与麦克斯韦方程组一起，构成超导电动力学的基础。在恒定情形下(即 )， ，由伦敦第一方程，超导体内电场 ,正常传导电流 ,此时 ；又 ，则，将其带入(9)式得 。此外，由于只有超导电流因而电阻为零，如此一来，超导体内的磁场和超导电流所满足的麦克斯韦——伦敦方程组为：

（20）

（21）

3. 伦敦方程的应用

3.1 对零电阻效应的解释

在恒定情况下， 与时间无关，故 ，由伦敦第一方程(15)式可知此时超导体内 ，再由(10)式有 .这就是说，在恒定情形下，超导体内的电流全部来自超导电子，没有电阻效应。

值得注意的是，在交变情形下， ，因而 ,因此交变情形下超导体会有电阻损耗。由(15)式易知，在电流的角频率为 的交变电场中，超导电流密度 （其中 ），而正常传导电流密度 ，因此两种传导电流之比 .可见对一般的低频交流电，超导电流比正常电流强得多,此时超导体基本上仍呈无阻性质，损耗很小。

3.2 对迈斯纳效应的解释

为了解释迈斯纳效应，取伦敦方程组中(21)第二式的旋度，且注意第一式，得

即

将(21)第二式代入(22)得

令 ,则上式变为：

其中参数

具有长度的量纲，由(24)式可以推断， 是超导体内 发生显著变化的线度。

现考虑一简单情形，设 的半空间为超导体, 的半空间存在均匀磁场 .由对称性，超导体内的磁场也只能沿 方向，而且只是 的函数，即 ,如下图所示：

由(24)式得

此方程有两个线性独立解 和 ，后者随着透入深度的增加而指数增长，与迈斯纳效应相违背，故舍去。再由边值关系(16)第一式，可得 ，即超导体内磁感应强度为

其中 是超导体表面即

处磁感应强度的数值。可见超导体内 随着透入深度按指数规律衰减，在 达到若干个 处 显著地趋于零。 标志着磁场透入超导体内的线度，称为伦敦穿透深度，一般地， .

同样还可以考虑超导电流分布，推导过程如(24)式，此处不再赘述。取(21)第二式的旋度，并由第一式及(20)的第二式，得

此方程与(24)有完全相同的形式，由此可知超导电流也主要存在于超导体表面厚度的薄层内。

由(24)、(27)可知，超导体内部的磁场与超导电流遵从同一形式的方程，而(24)则可以解释超导体的抗磁性——磁场随着透入超导体内部深度的增加而衰减；超导电流密度 也按同一规律衰减。这是一般迈斯纳态，此时超导体表面的边值关系满足(16)式。超导体之所以显示抗磁性，是由于超导电流在其内部产生与外场逆向的磁场。对于宏观尺度超导体，若看成 ，则可认为磁场完全被排出超导体外，此时其内部

即超导体有完全抗磁性，这是理想迈斯纳态，超导电流可视为分布于超导体表面的面电流，记为 .此时，若 为界面外侧真空中的磁场强度， 表示超导体表面超导电流流过区域以内的磁场强度，且 ，于是由(16)可得边值关系为

此处 是超导体外表面的磁感应强度，其法向分量 意味着无论外部磁场如何分布，其表面的 线总与界面相切，均不能透入超导体内部，表面超导电流完全屏蔽了外部磁场。

4. 结束语

超导体的发现可谓是刷新了人们对导体的认知，它有着许多奇特的现象，为了解释这些现象则需建立一个恰当的理论模型，一个好的理论模型一定可以诠释可观测量。超导体的理论建设过程漫长而曲折，但到目前为止仍没有一个好的理论模型能够完全解释所有超导现象。在早期对超导体的理论解释中，伦敦唯象理论的建立堪称经典，就算现在看来也是如此。但其虽然能解释超导体的零电阻效应以及迈斯纳效应，可随着进一步的研究，发现其在另一些方面是行不通的，终究不是最终本质，就算现在看来非常成功的BCS理论也是如此，它描述的仅是特殊的常规金属超导体，而对于普遍性的其他非常规超导体则无法解释。我们希望获得一个能够统一描述现有超导现象的理论模型，从而真正意义上的探寻到超导本质。现在不少学者为之痴迷，为之努力。我相信，总有一天我们能够找到一个合适的大统一理论模型，触摸到超导的真理。