代数式求值与数学变式教学

代数式求值与数学变式教学

王保国

河北省邯郸市临漳县教师进修学校

摘要：代数式求值是数学教学“式”教学的继续，是以后学习方程及函数的基础，是学生从数到式运算的起步。在数学教学之中通过对代数式求值的变式，从中去培养学生具有一定的灵活变换能力及抽象思维能力，同时在变换之中理解并掌握代数式，通过变式教学，让学生在“变”中找“不变”，从中理解代数式教学的实质。

关键词：数学 代数式 函数 教学

代数式求值基本的思路有两种，一种是将已知转化为未知，从而代入求解；另一种情况是将未知转化为已知，从而代入求解。具体有大致以下四类：

一、直接求值：给出代数式及字母的值，直接代入所求代数式而求值。

如：1、如果b-a=3，ab=5，则ab(b-a)的值是多少？

2、已知a-b=3，a+b=5，则（a+b）（a-b）= 。

3、（2016.河北模拟）若x= ，则代数式x²+1的值为多少？

这种情况对于学生来说是相对不难的，直接代入就可求值，这是基础，是由数代替字母的具体实践，也是代数式求值的本质。

二、化简求值，就是给出代数式及字母的值，将代数式化简后，代入字母的值求出代数式的值。

如上面的两种题可以这样变式：

1、如果b-a=3，ab=5，则ab²-a²b和a²b-ab²的值各是多少？

解析：要求ab²-a²b和a²b-ab²的值就是分别将ab²-a²b变式，即提取公因式后即可变式成为第一种类型题的形式即ab(b-a)，而a²b-ab²的变式就是ab(a-b)，而后再变式为- ab(b-a)，即可像上面两种情况直接代入求值。

2、已知a-b=3，a+b=5，则a²-b²= 与b²-a²= 。

解析：a²-b²=（a+b）（a-b），就是平方差公式的逆用；而 b²-a²要变式成为已知，也就是将b-a变式，即b²-a²=（a+b）（b - a）=-（a+b）（a-b），这样就会变成a²-b²的形式。

3、若x= ，则代数式x²+4x+4的值为多少？

方法一：将x= 直接代入即得x²+4x+4=5，但可能有点计算量大。

方法二：x²+4x+4=（x+2）²，此时将x= 代入（x+2）²=5，计算量就少了。也就是完全平方式的逆用，更是代数式求值的变式。

以上三种情况都是将所求的代数式进行变形，从而变成与已知代数式一样进行代数，直接代入可求值，也就是转化成第一种类型就可以求解。这也就是变未知为已知，从而代入求解。

三、代数式变形求值：给出代数式的变形要求及字母的值，化简代数式并代入字母求值。

如下面的题：

1、（2016.六盘水）若a与b互为相反数，c与d互为倒数，则a+b+3cd= 。

解析：∵a与b互为相反数，∴a+b=0，又∵c与d互为倒数，∴cd=1，∴a+b+3cd=0+3×1=3

2、（2016.河北模拟）若a= ，b= 则代数式 = 。

A.2a B.ab C.a²b D.ab²

解析：方法一：由未知变式 = = × = ×（ ）²=ab²

方法二：由已知变式，即由2×9=18可知，ab²= ×（ ）²= ，从而是得解。

3、（2016.石家庄一模）若a+b=1，b-c=2，则-3a-3c的值为 。

解析：方法一：从已知变式到未知，即由已知a+b=1，b-c=2，从而将两式相减得a+c=-1，两边都乘以3得3a+3c=-3，再将两边同乘以-1得-3a-3b=3，从而得解。

方法二：从未知变换到已知，由-3a-3c=-3（a+c）=-3（a+b-b+c）=-3［（a+b）-（b-c）］，这样就把未知转化成已知，而后将已知的值代入，即-3［（a+b）-（b-c）］=-3（1-2）=3，从而得解。

4、（2016.大庆）若 =2， =8，则 = 。

解析：方法一：如何得到 的值呢？∵ =2， =8，将两式两边相乘，∴16=2×8= = 。这是由已知转化成未知，从面代入得解。

方法二：如何由 =2， =8变成 呢？∵ = =2×8=16。这是由未知转化成已知，从而代入得解。

以上四种情况是根据代数式的变形要求或运算要求，最终把已知或未知转化为第一种类型而代入求值，

四、整体代入法求值：给出定值关系式及代数式，将定值关系式变形为代数式的一部分，代入求值。适用的类型：一般为所给的定值关系式与所求代数式中的某项存在倍数关系。基本的解题方法：先通过对已知定值关系式与所求代数式的对比，找出两个式子间共同的部分作为切入点，然后将已知定值关系式整体代入计算求值即可（有的定值关系式需通过已知等式转化而得出结果）。

如：1、（2016.包头）若2x

²-3x-1=0，则5-4x²+6x的值为 。

解析：比较已知与未知，可以看到二次项与一次项系数是成倍数关系，即4=2×2，6=2×3。

方法一：即由2x²-3x-1=0变换，两边都乘以2得出4x²-6x-2=0，即4x²-6x=2，两边乘以-1得出-4x²+6x=-2，两边加5得未知，则5-4x²+6x=5+（-4x²+6x）=5-2=3。

方法二：由5-4x²+6x=5-2（2x²-3x）=5-2［（2x²-3x-1）+1］=5-2=3，即可整体代换而求值。

2、（2016.保定清苑区模拟）已知实数a满足 - =3，则a²+ 的值为 。

通过观察已知 - =3与未知a²+ 可知，由a与a²及 与 你想到什么？是平方差公式吗？但未出现平方差的形式，那么就是这两个数差的平方的完全平方式，这样就能找到解决问题的方式。

方法一：对已知 - =3两边平方，即（ - ）²=3²，展开后为a²-2+ =9，即可求得a²+ =11，就会解决问题了。

方法二：对未知a²+ 进行变换，即a²+ = a²+ -2+2=（ - ）²+2=9+2=11。从而得解。

3、（2016.邯郸邯山区一模）已知x为实数，且 ，则x²+x的值为

A.0 B.1 C.2 D.2

解析：

方法一：由观察可知，从选项中去选择代入可得x²+x=1。

方法二：将x²+x作为一个整体，按分式方程进行计算就可以得出结果，即（x²+x）²+2（x²+x）-3=0，这样把x²+x当成未知数，从而按一元二次方程来解，得到x²+x等于1或-2，则选B项，这样得解。

由此可知，代数式求解，实质就是代入求值，而代数式的变式求值就是式的变换，即从单项式到多项式的变式，从整式变换到分式的变换，从有理式到无理式的变换，通过这样的变式就会让学生感到代数式求值的简单，也会促进学生从数到式的思维变换，也会更快地完成学习数学的第二次突破，即从数到字母的突破，加快学生第二次数学抽象（第一次抽象是从具体生活之中数到数学中的数的抽象）。

参考文献

[1]求代数式值的方法举隅[J]. 王剑峰.  上海中学数学. 2008(10)

[2]例说一元二次方程在代数式求值题中的三点应用[J]. 李培华.  数理化学习(初中版). 2010(07)

4