例谈方程思想在初中数学教学中的应用

例谈方程思想在初中数学教学中的应用

向爱民

湖北省秭归县归州镇初级中学443601

在初中数学教学活动中，很多实际问题（应用题），如几何图形的相关计算、函数问题等等，如果直接用已知条件去计算，往往比较困难。这些问题如果能联系方程，就能很顺畅地得到解决，从而大大地减少了思维量。

如何用好方程呢？用方程解数学问题该注意些什么？我们不妨从实际例子中寻找答案：

一、应用问题

随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加。据统计，某小区2014年底拥有家庭轿车64辆，2016年底家庭轿车的拥有量达到了100辆。

1.若该小区2014年底到2017年底家庭轿车的拥有量年平均增长率都相同，求该小区到2017年底家庭轿车将达到多少辆？

2.为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位。经测算，新建1个露天车位和1个室内车位需0.6万元，新建3个露天车位和2个室内车位需1.3万元。考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位数量的2倍，但不超过室内车位数量的2.5倍。求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案。

分析：

本题是一个增长率的问题，综合了不等式组的应用。

第一问通过读题，很快想到解决增长率，所以直接设增长率为未知数，找出增长率相关的等量关系得到方程，从而得到增长率。然后任意选择2014、2015、2016年为基数，就可以计算2017年的家庭轿车数量。

第二问中牵涉到露天车位和室内车位的单价和数量，已知条件都无法直接计算单价和数量，单价是用等量关系呈现的，所以选择用方程，实际操作时尽可能减少未知数。比如设露天车位每个m万元，则室内车位每个（0.6-m）万元。抓住新建3个露天车位和2个室内车位需1.3万元得到方程，确定m的值为0.1万元。露天车位个数和室内车位个数是本题的难点，而且是以不等关系呈现的。联想到不等式，当然尽可能减少未知数，假设露天车位为n个，则室内车位数为15－n，抓住两个不等关系构建不等式组，得到n的范围。这里小区最多可建两种车位是个隐含条件，假定建n个露天车位后，剩下的钱全部用来建设室内车位，两种车位才可能最多。另外这个条件也必须用到方案中验根，只有两种车位都是正整数，之和最大的才是本题的所求。

二、几何计算问题

如图，矩形纸片ABCD中，AB=8。将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，BG=10。当折痕的另一端F在AB边上时，求△EFG的面积。

分析：

根据折叠知道三角形是直角三角形，并且EG=BG=10，能解决EF的长度，就可以用面积公式求出面积。如何计算EF？表面上看差条件，过E点作EH垂直于BC，构建直角三角形EHG和矩形ABHE，在直角三角形EHG中解决HG，就可以算出BH即AE的长。接下来利用好直角三角形EAF，知道一边的长，另外两边有对应关系，联想到方程。假设EF为x,则AF=8-x，利用勾股定理就可以构建方程，从而算出面积。按照以上思路进行解答时，综合了转化思想和方程思想。

三、函数问题

如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，A、B两点的坐标分别是（－1，0）、（0，2），C、D两点在反比例函数y=（x<0）的图象上，则k的值等于_____。

分析：

要求k的值，常规方法是待定系数法，需求出该函数图像上某点的坐标。C或者D点坐标是本题的难点，直接计算有一定的难度。假定D点坐标为（x,）,根据平行四边形这一条件(平移规律)，点C的横坐标为x+1,对应纵坐标为+1,所以+2=+1,得到关于横坐标和k的方程。A、B坐标已知，可以计算线段AB的长，抓住CB＝DA=2AB就可以得到x和k的另一个方程，解方程组就可以得到k的值。

以上几道题中，都可以先根据已知条件设出未知数，通过方程（方程组）解出未知数，实现未知向已知过渡。在数学教学过程中，还有很多情况下需要用到方程思想，它是解决一部分题目的有效手段。但笔者要强调，不能千篇一律，一个问题出现了，能直接计算首先考虑计算，只有当计算很别扭时，不妨联系方程。具体做题时要合理地设未知数，尽量少设未知数，能准确把握题目中的等量关系构建方程。有时还要结合题目条件对解出来的未知数进行筛选，找到题目所需要的答案。