帮你解读“垂直关系”

帮你解读“垂直关系”

曾庆才

山东省临朐五中曾庆才

垂直关系是一种重要的线面位置关系，也是高考考查的重点，垂直关系在高考中考查一般有两种方式：一是考查垂直关系的定义、判定及性质，即通过有关命题的真假判定，直接考查有关的判定定理及性质定理；二是以空间几何体为载体，证明各种垂直关系，下面对垂直关系中的知识点帮同学们解读如下：

一、直线与平面垂直

1.空间中两直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于点,并且交角为直角,则称这两条直线互相垂直.

2.直线与平面垂直的定义:一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直,就说这条直线和这个平面垂直.

这条直线叫做平面的垂线.这个平面叫做直线的垂面,交点叫做垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的垂线段.垂线段的长度叫做这个点到平面的距离.

3.如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直线垂直.

符号表示：

说明：①和平面垂直的直线是直线和平面相交的一种特殊形式；②可作为线线垂直的判定定理。

4.直线和平面垂直的画法

画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如图，记作。

5.直线和平面垂直的判定定理

如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。

符号表示：

注意：定理中的关键词语是“两条相交直线”，应用此定理时，主要是设法在平面内找到两条相交直线。

推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

6.直线和平面垂直的性质定理

如果两条直线垂直于同一平面，那么这两条直线平行。

7.两个结论

（1）过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；

（2）过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。

8.拓宽：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离。

二、平面与平面垂直

1.两平面垂直的定义

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线相互垂直，就称为这两平面互相垂直。平面?、?互相垂直，记作。

2.两平面垂直的判定定理

如果一个平面经过另一个平面的一条直线，则这两个平面互相垂直。

符号表示：

说明：证明面面垂直可转化为证线面垂直。

3.两平面垂直的性质定理

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

符号表示：

说明：要特别注意定理中这一条件，这一条件易被我们忽略，而少了这一条件，定理的结论是不成立的。

4.证明两平面垂直的常用思路

①利用两平面垂直的定义；②利用判定定理，在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面。

三、三种垂直关系的联系：

线线垂直，线面垂直，面面垂直三者之间的关系可以用下图来表示：

其中：（1）线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

（2）如果一条直线和一个平面垂直那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直。

（3）面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

（4）面面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面