浅谈“二次函数”

浅谈“二次函数”

孙晓霖

孙晓霖福建省沙县第三中学365500

二次函数是中学数学教学中的重点，也是中考的热点和难点，近几年的中考压轴题基本上都是以抛物线为背景的。临近中考，如何让学生接受和掌握二次函数是我近阶段需要研究的重要课题。函数特别是二次函数对中学生来说确实是一个难点，作为老师，我们有义务帮助孩子走出学习困境，掌握重点，突破难点。

一、从定义的角度认识二次函数

二次函数的定义:y=ax2+bx+c（a≠0），其中a称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。从定义中我们可以看出二次函数的右边应该是关于x的二次整式，a为不等于0的实数，b、c可以等于任意实数。在关于二次函数定义的考题中学生的易错点是：把点的坐标带入表达式时漏带一个x的值，如把点（2,3）带入二次函数表达式时，学生会错写成3=a·22+bx+c,原因是只把其中的一个x替换成了2,这是数学成绩中下的学生刚开始接触到二次函数时常犯的错误。这部分学生可能是由于思维定式所造成的，因为前面所学习的一次函数和反比例函数表达式中只有一项含有x。我们教师教学时应加强函数定义的教学，让学生找清楚二次函数中的自变量，强调点的横坐标和自变量x是一一对应的关系。

二、从解析式的角度分析二次函数

二次函数的解析式分为三种：一般式y=ax2+bx+c（a≠0)；交点式y=a(x-x1)(x-x2)；顶点式y=(a-h)2+k》在求二次函数的解析式时，我们应该和同学们一起总结如何选择解析式的设法才会对我们的解题起到事半功倍的效果。

当题设中已知三个点的坐标时，我们可以把表达式设为一般式，构造出一个关于a、b、c的三元一次方程组，然后解出待定系数a、b、c即可。在求解这个三元一次方程组时，很多同学看到三个未知数就会产生惧怕的心理，这时我们老师应该及时帮助孩子消除恐惧，让学生利用消元思想把三元转化成二元，从而把陌生转化成熟悉。

当题设中已知顶点和一个普通点的坐标时，我们可以把表达式设为顶点式。这时我们应该让学生理解顶点式y=(a-h)2+k中h和k的含义，知道h是顶点的横坐标，k是顶点的纵坐标，并注意括号中的符号是减号。

当题设中已知与x轴的两个交点坐标时我们可以把表达式设成交点式，在这个表达式中x1、x2分别是图像与x轴交点的横坐标。学生在用这种方式求函数的解析式时，很容易把普通点的横坐标当做x1、x2。帮孩子走出这个误区时，我采用的是这样一种方法：先举一个利用分解因式解一元二次方程的题目，如（x-2）(x-3)=0,它的解为x1=2，x2=3。试想一下还有哪些方程的根为2和3呢？同学们思考一下会发现方程a（x-2）(x-3)=0的根也是2和3。再利用函数与方程的关系，联系函数y=a（x-2）(x-3)的图像可以发现x=2、x=3其实是二次函数与x轴交点的横坐标，从而学生就可以理解交点式、解析式的真正含义了。

三、从图像的角度去剖析二次函数的本质

在认识一个函数的时候，除了要理解函数的定义和解析式，函数的图像也是研究的重点内容之一，函数的一些特性在图像中可以很清楚地被发现、理解和应用。

首先，我们要让学生知道二次函数y=ax2+bx+c的图像是对称轴平行于y轴（包括重合）的一条抛物线。

其次，要认识抛物线的三要素：开口方向、对称轴和顶点。

再次，要理解抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用：

1.决定开口方向及开口大小。

2.b和a共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-，故：

（1）b=0对称轴为y轴。

（2）＞0（即a、b同号）对称轴在y轴左侧。

（3）＜0（即a、b异号）对称轴在y轴右侧。

3.c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置。

因为当x=0时y=c，所以抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点（0，c），从而有：

（1）c=0抛物线经过原点。

（2）c＞0抛物线与y轴交于正半轴。

（3）c＜0抛物线与y轴交于负半轴。

以上三点中，当结论和条件互换时，仍然成立。如：当抛物线的对称轴在y轴右侧，则＜0。

最后我们应该利用图像让学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系：二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程y=ax2+bx+c的两个实数根。从而还发现抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

1.有两个交点△>0抛物线与x轴相交。

2.有一个交点（顶点在x轴上）△=0抛物线与x轴相切。

3.没有交点△<0抛物线与x轴相离。

在函数图像中我们还能发现二次函数的最值其实就是函数y的最大值或最小值，同样我们利用抛物线图像还能解决一些不等式的问题。如判断a-b+c的正负其实就是判断当x=-1时y的正负问题；2a-b的正负其实就是判断对称轴与-1之间的大小关系；2a+b的正负就是判断对称轴与1之间的大小关系；求解类似y=ax2+bx+c≥3的这种一元二次不等式时，其实就是在利用数形结合比较函数值y与3的大小关系……

二次函数可以说是初中阶段函数的升华，也是初高中数学知识衔接的一个重要纽带。想学好二次函数，我们就要很好地利用“数形结合”这把金钥匙，它能带领学生把图形中隐含的数量关系挖掘出来，运用形的特征来探索数的规律。二次函数在生产生活中的应用也非常广泛，比如考察销售利润的最大值问题就是在考察二次函数的最值问题等等。