从数学到逻辑——论弗雷格的逻辑分析方法

从数学到逻辑——论弗雷格的逻辑分析方法

◆冀婵英

◆冀婵英河北大学政法学院逻辑学专业（学号20090032）071002

摘要：弗雷格逻辑分析方法的出发点是从数学到逻辑，通过运用数学和自变元的分析方法揭示了概念和对象的本质。

关键词：弗雷格函数概念

弗雷格是现代逻辑学的创始人。运用现代逻辑的思想和技术对自然语言进行逻辑分析是弗雷格独特的逻辑分析方法。从数学到逻辑的方法的运用开创了逻辑数学化的先河。把函数表达式的用法拓展到逻辑中来，从而丰富了逻辑分析方法，可以更加深入刻画语言中句子的逻辑结构，揭示出了自然语言的句子语法形式背后潜在的逻辑形式和逻辑关系，为我们提供了句子语义学上的说明。

弗雷格既是数学家，又是逻辑学家。弗雷格在对自然语言的逻辑分析中，自然会把数学中的研究方法过渡到逻辑学中来。也正是这种双重身份才产生了这种独特的效果，从而开创了逻辑数学化的独特的创新道路，开创了语言哲学的新纪元。

弗雷格的独特逻辑分析实现了从数学到逻辑完美的过渡，从而给后人在研究逻辑时指明了方向，同时提供了一个很好的研究方法。函数和自变元理念和元素属于数学领域，但弗雷格大胆地将这两门没有联系的学科有机地结合起来，为逻辑分析研究提供了新的思路。

函数和自变元的本质是弗雷格逻辑分析出发点。数学领域中的函数和自变元到逻辑领域的概念、关系与对象的自然过渡，是弗雷格作为现代语言哲学逻辑创始人的特征和证明。弗雷格从数学领域中的函数和自变元的本质出发，系统提出来并发展了他的语言哲学逻辑研究方法，使逻辑研究方法实现了从数学到逻辑的过渡。

弗雷格逻辑研究方法的初衷和脉络是数学领域中的函数与自变元的观点。函数和自变元的本质和概念、关系和对象本质相对应。自变元的性质完整补充函数的性质，对应对象也是具有完整性和不需要补充性。从而实现了逻辑研究方法数学化。

弗雷格以独特的研究视角，发现了传统数学的函数与自变元的定义的错误，批判了传统数学的函数与自变元的观点，同时阐明了自己对函数与自变元的观点。传统数学中的x的一个函数，指的是一个含有x的解析表达式。弗雷格否认这种观点。他认为传统的函数观点揭示不了函数的本质。比如函数表达式：3*x+x，x这个字母只是标志空位，而函数表达式中并不包含x字母本身。如果函数表达式3*x+x分别代入1和2，那么就有3*1+1和3*2+2，结果表示的是数4和数8。这两个表达式共同部分是传统意义上的字母代表的空位，能分别代入1和2的表达式。而弗雷格认为，“函数的真正本质就在那些表达式的共同因素之中。”[2]P59

弗雷格从一个表达式中区分出了自变元符号和函数表达式两个部分。这两个部分分别表示了自变元和函数。弗雷格的观点是，函数本身具有不完整性，用自变元补充才能完整和满足；而自变元本身不需要补充，是完整的和独立的。在这里弗雷格把自变元的函数值定义为一个自变元补充一个函数所得的结果。弗雷格之所以这样认为，是因为传统数学没有认清函数的本质。传统数学中的函数定义不区别函数与自变元，结果也不区别函数与函数值。

弗雷格对函数重新做了科学的定义后，又从两个方向扩展了函数。一个方向扩展了构造函数的方法；另一个方向扩展了自变元和函数值的范围。首先对在构造函数的方法上进行了扩展。与此同时，引入真值作为函数值，扩展了函数值的范围。他引进了符号：=、>、<，从而使函数表达式的类型扩展了。弗雷格把（）2=1看成是函数。用1和2分别代入后，就变成12=1和22=1。弗雷格认为，12=1是真的，22=1是假的。真和假就是真值。弗雷格认为真值有两个，即真和假。（）2=1这个函数的值总是两个真值之一即真或假。当-1为自变元时，式子（-1）2=1的函数值即真值为真。我们用语言表达为“-1这个自变元的性质是它的平方为1”或“-1属于1的平方根这个概念”[1]P56对于自变元2，式子22=1的函数值即真值为假。用语言表述是“2不属于1的平方根这个概念。”[1]P56因此，弗雷格说：“逻辑中称为概念的东西与我们称为函数的东西十分紧密地联系在一起……一个概念是一个其值总是一个真值的函数。”[2]P66由此可见（）2=1函数，-1的平方根这一概念是一个其值总是一个真值的函数。

弗雷格不仅分析了包括1个自变元，也分析了包含2个自变元的其值为真值的函数的情况。对于（）>（），当我们依次将2和1代入空位时，其值是真值为真。当依次将1和2代入空位时，其值是真值为假。式子（）>（）有两个空位，这样的式子被弗雷格称为二元函数。这样的二元函数的值也是真值即真或假。弗雷格把这样的函数又称为关系函数。这种对关系的定义的出发点与定义概念相同，都是从函数出发。并且对关系和概念在逻辑上联系和区别也进行了分析和探讨。弗雷格认为，关系和概念既有区别又有联系。弗雷格从函数得到概念之后，对概念进一步分析得到了关系这个结论，反过来，概念是对关系的部分满足。关系和概念密切相关。

在探讨分析了函数到概念和关系的过渡后，弗雷格又完成了等式或不等式到断定句的过渡分析。由此就真正实现了数学到逻辑的完善的过渡。从而使数学中的函数表达式到一般语言的表达式过渡变得顺理成章。在对函数表达式扩展到一般语言表达式的同时，他把自变元和函数值的范围一并扩展到了一般对象。

弗雷格从数学表达式的分析到一般语言表达式的分析的过渡中，把断定句包含在一般的函数表达式中。一般语言表达式中的断定句和数学中的等式相对应。断定句是等式的扩展形式。断定句的涵义是断定句的思想。断定句的真值是断定句的意谓。他认为句子和函数相类似。句子也由完整的部分和不完整的部分组成。句子不完整的部分就是概念、关系，完整的部分是对象。不完整的概念、关系需要用完整的对象补充才能表达完整的思想。这里的对象可以是专名等。用专名等对象补充不完整的概念、关系，可以得到一个完整的句子。这样的完整的句子具有一定的涵义，表达一个完整的思想。因为真值是函数的值，所以它是一个概念。弗雷格把这种表达式称为谓词。对于概念和关系，弗雷格进行了详细地分析。例如：凯撒征服高卢。凯撒是对象，也是专名。又如：柏拉图早于亚里士多德。这个句子是关系表达式，表明了一种关系。柏拉图和亚里士多德是自变元符号。弗雷格称其为专名，表示对象。所以在自然语言中，专名即对象与数学中的自变元符号对应；概念与关系表达式和函数表达式对应。所以，在数学中对函数和自变元的分析方法，，就可以运用到对自然语言句子的分析中去。弗雷格对自变元和函数值的最大的扩展使其成为了对象。弗雷格对对象并没有给出适当的定义，而只是相对于概念来说明了对象。

弗雷格分析概念、关系和对象，是以函数和自变元的观点为出发点进行分析的。这种分析方法实现了由数学到逻辑的一种过渡。在数学中，自变元符号与函数表达式共同形成完整的公式，这个公式有一个涵义，有一个函数值；在自然语言中，专名与谓词或关系表达式形成完整的句子，表达一个思想，意谓一个真值。概念是一个函数，概念的值总是一个真值。不完整性是函数的本质；不完整性也是概念的本质。概念是需要补充的。而对象是和自变元相对应，完整性是自变元的本质，完整性也是对象的本质。

综上所述，弗雷格对概念与对象的本质的揭示方法，是借用了函数和自变元的分析的方法。对断定句、关系语句的分析是从对数学表达式的分析过渡而来。这种分析方法使用函数和自变元的观点来分析自然语言中的句子成为可能。从数学到逻辑的分析方法奠定了弗雷格的意义理论研究的基础。

参考文献

[1]张燕京《真与意义——达米特的语言哲学》.保定：河北大学出版社，2011年。

[2]弗雷格著王路译《弗雷格哲学论著选辑》.北京：商务印书馆，2006年。