运用数学方法进行项目管理

运用数学方法进行项目管理

胡志刚

中国水利水电第五工程局有限公司成都610000

摘要：随着社会的发展，数学在社会各个领域的应用越来越广泛，作用越来越大。尤其数学建模在生产销售企业发挥着重要作用，但目前施工企业项目管理中仍运用较少。笔者结合自己在工作中遇到的实际问题采用数学建模的方式分析制定项目生产组织及成本最优方案，提高项目经济效益。通过建立科学可行的数学模型制定最优方案的方法，或许能为今后施工企业项目提质增效、精细化管理开拓新的管理思路。

关键词：数学建模；项目管理；最优方案

1.前言

社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门进行数学研究的人才，而是更需要大量的在各企业和各部门中从事实际工作且善于运用数学知识和数学思维方法解决所面临的实际问题的人。在实际工作中，完全纯粹只用现成的数学知识就能解决的问题是几乎不存在的，这是需要我们对复杂的实际问题进行分析，发现其中可以用数学语言来描述的关系和规律，把实际问题转化成数学问题，这就是常说的数学建模。数学模型建立后，实际问题演化成数学问题，就可以数学工具、数学方法去解答实际问题。

在施工企业项目管理中，资源（人、材、机）配置及效益的最大化是项目管理的重要内容和主要目标。项目各项管理工作的开展，其最终目的仍然是实现企业价值财富的创造。而目前施工企业项目管理要实现盈利的主要管理手段表现为成本控制，成本控制的方法很多，比如确定正确的施工组织方案、改善劳动组织、加强材料管理、选择合理的施工机械设备、抓好成本预测和计划工作等等，虽然方法很多，涉及面非常广，这只是控制成本的管理机制。如果我们在项目管理中能够将影响成本的因素影响多大，通过数值方式表现出来，然后有针对的采取上述方法进行控制，这样才能有效的使项目效益最大化或亏损最小化。为此，将影响成本控制的因素通过数学建模的方式，将其数值化、具体化，从而制定科学可行的项目生产组织及成本最优方案。

2.数学模型建立

通常某个项目的实施是在项目总造价即项目收入F，合同总工期T确定情况下，项目实施者通过制定一系列施工方案及措施，组织人、材、机等资源投入来完成项目履约。在此过程中项目发生的费用及项目支出I主要包括人工费、材料费、机械费、措施费、管理费、税金。为此在项目收入F，合同总工期T已知情况下，将上述费用组成通过建立一个数学模型，分析成本最小化或利润最大化的最优方案，从而实现我们项目管理目标。具体操作步骤如下：

（1）假定约束条件，即首先假定项目费用占项目收入的比例范围，范围的假定可以理解为项目决策者对这个项目的投入的一些具体要求，通过条件的设置来进行计算，并得出最终结论，利于项目实施过程中在假定条件范围内采取应对措施来实现项目管理目标。

（2）根据已知条件确定变量，变量的选择必须与我们所要解决的问题对象联系起来，一般用X1，X2，…，Xn表示。

①假设人工费采用X1表示，目前施工企业人工费主要表现为劳务分包费用，将其简化为人工费（劳务分包费）=人工单价×数量×时间+管理成本+合理利润，人工费的投入与施工时间有关系，则按照总工期T的要求，建立人工费数学表达式如下：X1=M×N×t+M×N×t×i%+R（其中M表示人工单价、N表示人员数量、t表示时间；i%表示劳务分包管理费率，R表示合理利润率）。

②假定材料费采用X2表示，将其简化为材料费=∑（单价×数量×损耗率），忽略其因时期不同而引起的调差影响，将其视为固定成本，不受工期变化影响。

③假定机械费采用X3表示，机械主要表现形式为自有和租赁，将其简化为机械费=∑（单价（台班费或租赁单价）×数量×时间），则按照总工期T的要求，建立机械费数学表达式如下：机械费X3=M1×N1×t1+M2×N2×t2…+Mn×Nn×Tn（其中M1、M2、Mn表示不同种类机械的单价，N1、N2、Nn表示不同种类机械数量，T1、T2、Tn表示不同种类使用时间）。

④假定措施费采用X4表示，措施费主要是依据项目特性制定的施工方案非工程实体项目的投入的费用，将其转化为可以计量计价的项目，其主要表现形式为自购和租赁。措施费=∑[（自购费用-残值）+租赁单价×数量×时间]，则按照总工期T的要求，建立措施费数学表达式如下：措施费X4=C+M1×N1×t1+M2×N2×t2…+Mn×Nn×Tn（其中C为自购部分，视为固定成本，M1、M2、Mn表示不同种类措施资源的单价，N1、N2、Nn表示不同种类措施资源投入数量，T1、T2、Tn表示不同种类措施资源使用时间）。

⑤假设管理费采用X5表示，将其简化为管理费=总投资×费率，则按照总工期T的要求，建立管理费数学表达式如下：管理费X5=F×i%×t/T（其中F为总造价，i%表示管理费率，t表示时间，T表示总工期）。

⑥假设税费采用X6表示，税费=收入×税率，视为固定支出。

（3）模型建立，通过建立上述变量的数学表达式可知，项目成本控制主要受工期的影响，即在合同总工期T确定的情况，采取什么样的施工方案进行项目施工进度安排直接影响的人力、设备、措施等资源投入，从而使项目成本费用发生变化。

所以该数学模型是在项目收入F，合同总工期T已知前提下，通过不同情况的进度组合方式，计算相应资源投入及费用，然后分析计算费用与初设目标值进行比较后，设定项目费用管理目标值，最后依据设定的目标值建立利润数学模型函数R=F-Cu×t/T-CV（其中t表示工期为变量，T表示方案初定的工期，Cu可变成本支出、CV固定支出），分析设定的费用目标值能获取的最大利润或可能承担的风险。

3.数学模型具体应用

3.1工程概述

笋溪河特大桥江津岸引桥下部结构2#-5#桥墩采用双柱式圆墩柱结构，分为左、右幅，共计16根墩柱，其直径分别为1.8m/2.0m/2..2m/2.5m四种结构尺寸，系梁共分为5中结构尺寸，盖梁结构尺寸相同，具体结构特性详见表1。该部位分项工程总造价为F=400万元，要求建设工期为T=6个月=180天。

表1桥梁特性表

主要施工方案①根据当地标准化施工要求墩柱分层高度不得大于6m-8m/层，随墩柱上升要求同时搭设盘扣式双排脚手架作为通道及操作平台，经方案设计计算每1.5m梯级消耗量为3.1t；②2#-3#墩柱最大高度18m，采用1台25t汽车吊进行材料、模板、混凝土垂直运输；4#-5#墩柱最大高度48m，配置1台5613-3t的塔吊作垂直运输设备；③施工工序强度依据墩柱7天/层、系梁7天/层、盖梁12天/层，且1根墩柱施工4个工人进行进度编制，则有2#墩柱施工时间至少40天，3#墩柱施工时间至少33天，4#墩柱施工时间至少47天，5#墩柱施工时间至少75天。

3.2费用模型建立及解算

假设项目前期项目决策者要求依据本项目工程特性，选定分包方式。假如项目劳务分包组织方式拟采取两种方式，一种是只计人工费的劳务分包；另一种是含人工费及部分机械费或措施费的劳务分包，现要求项目确定劳务分包组织方式及其分包指导价。

（1）假定约束条件

首先假定费用模型中变量占项目收入的比值，通常可以依据类似工程或经验取值。假设本项目的人工费X1=（20%~25%）×F，材料费X2=（45%~50%）×F，机械费X3=（5%~10%）×F，措施费X4=（10%~15%）×F，管理费X5=（8%~10%）×F，税金X6=3.39%×F，利润R=（5%~10%）×F。

（2）施工安排，资源计划投入

①第一种方案：所有墩柱同时施工，提前工期3个月，同时考虑因天气、其他外在等因素的影响，具体工期安排及主要资源投入见表2、3。

表2第一种方案施工进度安排

其他考虑后期拆除、收尾作业：汽车吊1台/60天、塔吊1台/100天

注：上述资源先利用完的按照最早完成的分项工程时退场（实际中应比较增加运输趟数产生的运输费与考虑适当延长租赁期限费用大小）。

②第二种方案：在总工期T=180天控制下，依据工程项目特性，左、右幅或者相同属性墩柱错开一定时间，充分调配资源，提高资源利用率。同时考虑因天气、其他外在等因素的影响，具体工期安排及主要资源投入见表4、5。

表4第二种方案施工进度安排

（3）第一种方案模型建立及费用解算

①费用结算

1）人工费：假设人工工日单价为180元，其分包作业队伍管理费率为10%，则人工费

X1=3744×180+3744×180×10%+R=74.13+R。

按照假设的分配比例，则有74.13+R=400×（20%~25%），推出合理利润R=5.87~25.87万元。

2）材料费视为固定支出X2=400×（45%~50%）=180~200万元。

3）机械费：参照地区25t汽车吊及TC5613-3t塔吊的租赁价格为2.5万元/月，则机械费X3=2.5×2+2.5×3.3=13.25万元＜400×（5%~10%）=20~40万元。

4）措施费：参照地区盘扣式支架的租赁价格为8元/天?吨；墩柱模板1.8m、2.0m、2.2m、2.5m直径的租赁价格分别为7元/天?米、8元/天?米、9元/天?米、12元/天?米；系梁及盖梁1元/天?㎡。则措施费X4=（盘扣式支架租赁费9.04万元+系梁及盖梁模板2.95万元+墩柱模板5.89万元）×20%（运输费及保养消耗）=21.46万元＜400×（10%~15%）=40~60万元。

5）管理费X5=F×i%×t/T，工期提前有利于节省项目管理成本，则有X5=400×（8%~10%）×3/6=16~20万元。

6）税金视为固定支出X6=400×3.39%=13.56万元。

②数学模型建立

1）第一种只计人工费的劳务分包

依据上述费用结算，初步选定分包劳务费X1=22%×F=88万元，视为固定支出，以此投入作业队伍利润率达到15.6%，材料费X2=50%×F=200万元，机械费X3=5%×F=20万元，措施费X4=6%×F=24万元，管理费X5=6%×F=24万元，税金X6=13.56万元。则建立项目利润数学函数R=F-（X3+X4+X5）×t/T-CV=98.44-68×t/3（3≤t），其变化规律如图1所示：

图2费率与工期线性图

由图2可知，该项目在这种劳务分包模式及施工进度安排情况下，抗风险能力强，即时在总工期内6个月内完成履约，项目仍能实现1.6%的盈利。但是该项目进度保证完全取决与作业分包队伍的投入，要求分包商具有较强的实力资质，但项目管理难度较大。

③小结

综合上述分析，在第一种方案：墩柱同时施工，提前工期3个月的施工进度计划安排项目进度管理目标下，鉴于本项目规模小，其抵抗风险能力较弱，选取含人工费及机械费或措施费的劳务组织分包对项目有利，分包限价不大于132万。

（4）第二种方案模型建立及费用解算

①费用结算

1）人工费：假设人工工日单价为180元，其分包作业队伍管理费率为10%，则人工费

X1=4325×180+4325×180×10%+R=85.64+R。

按照假设的分配比例，则有85.64+R=400×（20%~25%），推出合理利润R=-5.64~14.36万元。

2）材料费视为固定支出X2=400×（45%~50%）=180~200万元。

3）机械费：参照地区25t汽车吊及TC5613-3t塔吊的租赁价格为2.5万元/月，则机械费X3=2.5×4+2.5×4=20万元≤400×（5%~10%）=20~40万元。

4）措施费：参照地区盘扣式支架的租赁价格为8元/天?吨；墩柱模板1.8m、2.0m、2.2m、2.5m直径的租赁价格分别为7元/天?米、8元/天?米、9元/天?米、12元/天?米；系梁及盖梁1元/天?㎡。则措施费X4=（盘扣式支架租赁费10.71万元+系梁及盖梁模板1.34万元+墩柱模板3.33万元）×15%（考虑其总量较小，运输费及保养消耗适当减少）=17.69万元＜400×（10%~15%）=40~60万元。

5）管理费X5=F×i%×t/T，工期提前有利于节省项目管理成本，则有X5=400×（8%~10%）=32~40万元。

6）税金视为固定支出X6=400×3.39%=13.56万元。

②数学模型建立

1）第一种只计人工费的劳务分包

依据上述费用结算，初步选定分包劳务费X1=25%×F=100万元，视为固定支出，以此投入其利润率达到14.4%；材料费X2=50%×F=200万元，机械费X3=5%×F=20万元，措施费X4=5%×F=20万元，管理费X5=8%×F=32万元，税金X6=13.56万元。则建立项目利润数学函数R=F-（X3+X4+X5）×t/T-CV=86.44-72×t/6（6≤t），其变化规律如图3所示：

由图3可知，该项目在这种劳务分包模式及施工进度安排情况下，只要在总工期内6个月内顺利完成履约，项目就能实现3.61%的盈利，项目实施过程较为平稳，有一定的抗风险能力，但是很难进一步从机械、措施等资源投入上挖掘利润空间。

2）第二种含人工费及部分机械费或措施费的劳务分包

依据上述费用结算，初步选定分包劳务费X1+X3+X4=35%×F=140万元，视为固定支出，以此投入其利润率达到11.9%；材料费X2=50%×F=200万元，管理费X5=8%×F=32万元，税金X6=13.56万元。则建立项目利润数学函数R=F-X5×t/T-CV=46.44-32×t/6（6≤t），其变化规律如图4所示：

由图4可知，该项目在这种劳务分包模式及施工进度安排情况下，项目抗风险能力较强，即时进度滞后2个月，项目仍能实现1%的盈利。

③小结

综合上述分析，在第二种方案：项目施工进度按照总工期的要求进行计划，鉴于本项目规模小，选取含人工费及机械费或措施费的劳务组织分包对项目有利，分包限价不大于140万，虽然大于方案一分包限价132万元，增加了分包成本，但项目管理抗风险能力仍强于方案一（8.7月＞6.8月），这是由于方案一压缩工期，势必增加项目管理压力及投入，增加了项目管理成本的风险；而方案二自始至终处于较为平稳的管理投入过程。

3.3最优方案

从上述数学模型解算的结果可知，采取同时施工，压缩工期方案时，项目虽然可以实现7.66%较大的盈利，但是其抗风险能力弱，项目管理环节稍有失误或者偏差就可能导致项目出现盈转亏的现象；而按照总工期要求，充分调配资源，按部就班组织生产时，只要在总工期内6个月内顺利完成履约，项目仍能实现3.61%的盈利，且其抗风险能力较强。综合上述两种方案有利因素，确定项目采纳按照6个月工期按部就班组织生产，采用含人工费、机械费及措施费的劳务组织分包模式，限价取方案一132万元（减小8万，降低分包商利润率有利于分包商主动压缩工期从而达到减少项目管理成本的目的，实现双赢的局面）。

4.结语

由上述数学建模分析可知，施工企业在进行项目管理过程中，可以将影响成本控制的因素采用数学建模的方式，将问题通过具体的数值进行表达，这样有利于项目决策者选择最优方案，明确项目管理目标值。然后项目再采取有针对性的管理制度来确保目标值的实现，即时在项目实施过程中出现偏差，也能通过与目标值比较，精准、快速分析问题症结并采取有效的纠偏措施。总之，在现代化企业管理中采取数学建模方式分析问题有着其独特的价值，通过这种科学计算方式或许能为施工企业项目提质增效、精细化管理开拓新的管理思路。

参考文献

[1]司守奎，孙兆亮编.数学建模算法与应用.国防工业出版社.

[2]巴玉强.数学线性规划在企业管理中的应用分析[J].经管空间.

[3]马南湘.数学建模与企业生产中的数学建模应用[J].沿海企业与科技.