数学中向量分析

数学中向量分析

陈祖谦

数学中向量分析

陈祖谦广西容县高级中学

一、向量进入中学数学的背景分析

1．向量的双重性

向量是一个具有几何和代数双重身份的概念，同时向量代数所依附的线性代数是高等数学中一个完整的体系，具有良好的分析方法和完整结构。通过向量的运用对传统问题的分析，可以帮助学生更好地建立代数与几何的关系，也为中学数学向高等数学过渡奠定一个直观的基础。这方面的案例包括平面几何、立体几何和向量解析几何。

2．认识向量的另外角度

把平面和空间看成是一个向量场，可以培养学生对结构数学的认识，而结构数学是现代数学发展的主要方向。利用参数方程的概念，可以把曲线看作向量函数的轨迹，可以使学生方便地运用微积分于几何的研究和学习。这里也可以把向量的引入理解为现代数学与初等数学的衔接的组成部分之一。

3．“数、量与运算”的扩大

从“数、量和运算”发展的角度理解“向量”，把向量的加法（减法）、数乘以向量和向量的数量积看作新的运算，使学生认识到数、量和运算的形式在不断的发展。更为重要的是，在教材和教师教学的处理上，应该表现出“数、量和运算”的一个发展趋势链，其中数的发展包括正整数（自然数）→零和自然数→正分数（有限小数和无限循环小数）→非负有理数→有理数→无理数（无限不循环小数）→实数→复数，从代数结构的角度看，经历了整数环→有理数域→实数域→复数域（1883年Hamilton的四元数域是不满足乘法交换律的复数域的扩大，在此意义上说，复数域是最大的数域），这些“数”所对应的“量”都是一类的，并且至此“运算”的结构没有改变，从整体上看，“数”在发展，而“量”及“运算”没有本质的发展。因此向量不是“数”的简单扩大，它所关注的不是“数”的扩大问题，而是“量及运算”的扩大问题。因而在向量的引入时，不宜从代数方程的角度出发，可能从力学的实际背景出发，更能体现出“量”的发展。同时还应该强调的是，向量代数是以前所有“数的运算”的一个发展（如果我们能够引入向量的向量积运算，将使学生第一次看到运算可以不满足交换律的真正案例），使学生对此问题有一个发展的理解，由此也为今后引入矩阵及其运算做了铺垫。

4．国际数学教育对向量的处理

国际数学教育的发展已全面反映了综合几何学习的落后，向量和矩阵进入中学数学是一个大的趋势，比如美国NCTM2000的《学校数学的原则和标准》、《新西兰数学课程标准》和《澳大利亚数学教学大纲》都在此问题上有全面的反映。从总体上分析，基本共识是基于以下的事实：1899年希尔伯特的《几何学基础》的发表，标志着几何学基础的彻底革新，也发展了现代数学的公理化模式。以此为推动力，数学本体上在这个方面的研究几乎穷尽。中学的综合几何就是扩大了公理体系的希尔伯特几何的简单情形。如果我国几何教学仍然停留在此不动，那么也就很难说我们的数学教育反映了数学发展的进程，也与国际数学教育的发展相距甚远。

二、2000年数学高考中的体现和趋势

在现阶段，高考作为一个主要的评价手段，仍然是其他评价手段所无法替代的。向量几何进入中学后，能否被师生接受，其效果如何，必须在高考中有所体现，否则，必然重复以前的课程和教材实验的老路，也就是只要高考不考，中学教师就不讲、学生也不愿学。这次的实验，把教学和最后的高考评价相结合，这样必将推动向量等现代数学的思想和方法更快地进入中学。

1．2000年数学高考中“向量”的体现

2000年全国高考数学中，并没有直接涉及向量的问题。但在实验区，也就江西和天津地区的数学高考中有直接与向量有关的问题为2题，分别为第4题和第18题，分值为17分，占11.3%。在上海的数学高考试题中与向量有关的问题为2题，分别为第1题和第18题，分值为16分，占10.6%。当然，在2000年全国普通高考数学学科的试题中，可以用向量的问题也有2题，分别为14题和18题。

从问题的形式上来看，前面一个小题为选择题，主要检测学生对向量代数的基本运算的掌握，第二个问题，主要是向量在立体几何中的应用。这也是符合中国的国情的。究其原因，正如我们前面所言，传统的综合立体几何的教与学是我们的优势，把向量与立体几何紧密联系使教师有一个很好的开始，使教师较方便地适应向量的教，学生也容易把他们在平面几何所获得的综合几何的能力，迁移到向量与空间几何的结合中，对教师和学生来说都是一个很好的鼓励。

2．发展趋势和对策

随着以《大纲》为基础的数学教学实验的推广，随着新的高中数学国家课程标准的研制和教学实验，可见，“向量”进入中学数学的步伐会越来越大，毫无疑问这种趋势是难以阻挡的。《数学通报》2001年3月，国家教育部考试中心在谈到试题的稳定与创新的关系时，指出：“在深化高考内容的改革中，要充分研究中学数学教材，研究数学知识的发展规律和内在联系，研究初等数学与高等数学的衔接关系，创设新的试题情景”可以预见在近年内，向量问题在数学高考中的形式不会有根本的改变，这是因为，中学数学中“向量”的教学刚刚起步，教师和学生都有一个适应过程。同时，再次强调的是在立体几何中设计一道向量问题是符合国情的。

但是，从发展的角度看，不要在这个问题上使自己的认识僵化，也就是要注意到向量所涉及的更为宽泛的与其它数学知识的联系。比如，向量与初等微积分的结合就是可以选择的“新的试题情景”，当然这是需要时间和实践积累的。

谈到中学教师或者说是中学教学的对策，应注意以下几方面：第一，中学教师有必要系统接受“向量代数和向量分析”的知识培训，尤其是脱离高等数学时间较长的教师，对于这个问题，应该从社会分工的角度认识，就不会产生抵触情绪。第二，全面认识现代数学与初等数学的关系，发展地看“向量”与中学数学的结合。第三，注意战略和战术的关系，注意近期与长期的关系，适应动态的教学大纲或课程标准。今后的教学大纲或课程标准不会是几十年一贯制，“向量”与中学数学的几结合也是动态的。