巧“排列”妙“组合”

巧“排列”妙“组合”

唐永红程政业

湖北黄石市第四中学唐永红

湖北大冶实验高中程政业

排列组合是高考必考题，从思维策略来看，主要以两个原理引路，紧扣“完成一件事情”去审题，若能直接抽象成排列组合模型去解题乃为上策，否则就应该从“问题元素”、“问题位置”出发去分类讨论，从一些具体的解题策略和方法技巧来看，可以将排列组合问题归结为以下13种方法技巧．

一、元素相邻：“捆绑法”

对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看成一个整体元素与其它的元素进行排列，然后再对相邻元素内部进行排列．

【例1】7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？

二、元素相间：“插空法”

对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可．

【例2】在例1中，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？

三、特殊元素：“优先安排法”

对于带有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素．

【例3】用0，1，2，3，4，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）．

A．24个B．30个C．40个D．60个

四、条件交叉：“容斥原理”

解含有约束条件的排列组合问题，而特殊元素和特殊位置之间有交叉，可以用容斥原理n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)来计算．

【例4】五名运动员选4人参加接力赛，其中甲不跑首棒，乙不跑末棒，则一共有多少种不同的参赛方案？

分析：由题意甲不在首位，但可在末位;乙不在末位，但可在首位．特殊元素和特殊位置之间有交叉，用容斥原理．

五、元素定序:“只选不排”

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素的位置选出来不用排，而其他元素在剩下的位置上进行排列．

【例5】6个人排队，但甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？

分析：先在6个位置中选出3个位置C，其他元素在剩下位置进行排列共有A∴共有N=CA=120种．

此类问题也可以用“先排后除”：不考虑附加条件，排队方法有种，而其中甲、乙、丙的种排法中只有一种符合条件．故符合条件的排法有种．

六、相同元素排列：“组合问题”

元素相同，只需考虑选出不同位置放置元素即可．

【例6】四个相同的红球和四个相同的蓝球排成一排，有多少种不同的排法？

分析：只需在8个位置上选出4个位置放红球，另4个位置放蓝球即可，故CC=70种．

七、平均分堆：“先分后除”

平均分堆要考虑分法重复．

【例7】例如将6个不同的小球平均分成两堆．问有多少种不同的分法？

分析：先将6个球分给A，B两个人，其中A3个，B3个，共有CC种分法．由于A，B这两个人是虚拟的，实际分堆时并无次序之分，即A={a,b,c},B={d,e,f}与A={d,e,f},B={a,b,c}是同一种分堆，所以平均分堆的方法数x==60种．

八、正难则反：“转化法”

对于一些生疏问题或直接求解较为复杂或较为困难问题，从正面入手情况较多，不易解决，这时可从反面入手，将其转化为一个简单问题来处理．

例如在例3中，也可用此法解答：五个数字组成三位数的全排列有个，排好后发现0不能排首位，而且数字1，3也不能排末位，这两种排法要除去，故有个偶数

【例8】马路上有10只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？

分析：关掉第1只灯的方法有8种，关第二只，第三只时需分类讨论，十分复杂．若从反面入手考虑，每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与关灯的排列，于是问题转化为“在7只亮灯的8个空中插入3只暗灯，但还要满足不插在两端”的问题．故关灯方法种数为．

九、不同元素入盒：“先选后排”

对于排列组合混合问题，可先选出元素，再排列．

【例9】4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种？

分析：因有一空盒，故必有一盒子放两球．①选：从四个球中选2个有种，从4个盒中选3个盒有种；②排：把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个元素，对选出的3盒作全排列有种，故所求放法有种．

十、相同元素入盒：“隔板法”

对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题．

【例10】方程x+y+Z+w=16,共有多少组正整数解？

分析：这个不定方程解的问题等价于一个“分球入盒”问题，即将16个小球放入x,y,z,w四只盒子中，每盒不空，共有多少种不同的放法？构造一个插隔板的模型：○○∣○○○○∣○○○○∣○○○○○○即将三块隔板插入15个空档中，共有C种插入方法，每一种“插入”就对应着一种分球入盒的情形，所以共有C=455组解．

十一、环状排列：“化环为直”

环状排列没有首尾之分，将n个元素围成的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有A种排法．由于n个元素共有n种不同的剪法，故排法：．

【例11】4名同学2名老师手牵手围成一圈，有多少不同的排法？若要求老师必须相邻，又有多少种不同的排法？

分析：环状排列没有首尾之分，将6个元素围成的环状排列剪开看成6个元素排成一排，即共有A种排法．由于6个元素共有6种不同的剪法，故排法：=120种排法；而两位老师相邻有种排法．

十二、路径问题：等价“相同元素排列”

【例12】如图:

十三、多元问题：“分类处理”

有些较复杂的多元问题可以通过分类讨论来解决．

【例13】9人组成篮球队，其中7人善打前锋，3人善打后卫，现从中选5人（两卫三锋，且锋分左、中、右，卫分左右）组队出场，有多少种不同的组队方法？

复杂问题还包括“全错位排列”也按分类讨论处理．

【例14】1,2,3,4号信分别投入1,2,3,4号信箱，但要求1号信不进1号箱，2号信不进2号箱，3号信不进3号箱，4号信也不进4号箱，问：共有多少种不同的排法？

分析：由题意知：1号信不能进1号箱，但2,3,4号信均可进1号箱，故按此分类讨论：①2号信进1号箱：此时符合要求共有3种排法．

②3号信进1号箱：此时符合要求共有3种排法．

③4号信进1号箱：此时符合要求共有3种排法．

∴N=3+3+3=9种方法．

除了上述方法外，有时还可以通过设未知数，借助方程来解答，简单一些的问题可采用列举法，还可以利用对称性或整体思想来解题等等．这些技巧体现了“分类讨论、转化与化归、特殊化思想”等等一些数学思想方法．并且这些策略不是彼此孤立的，而是相互依存、相互为用的，有时解决某一问题是要综合运用几种求解策略．