GPS高程拟合试验

GPS高程拟合试验

林杰

林杰（潮州市国土资源测绘队，广东潮州521000）

摘要：分析了GPS高程系统与我国现行高程系统的区别与联系，介绍了由GPS大地高转换为正常高的多项式曲面拟合方法，具体分析了2个测区的GPS高程拟合成果。

关键词：全球定位系统（GPS）；GPS高程拟合；大地高HAg；正常高Hr；高程异常ξ

1概述

近年来，全球定位系统（GPS）以其精度高、速度快、经济效益显著等优点，在布设各种控制网、变形监测、精密工程测量等诸多方面都得到了迅速、广泛地应用。国内外大量的GPS测量实践证明，GPS测量可以以极高的精度同时获得测站的三维坐标，即大地经度L、大地纬度B（经坐标转换可求出测站点的高斯平面坐标x、y）和大地高HAg，对于我国，目前大多数GPS用户需要的是测站点的高斯平面坐标x、y和正常高Hr，所以仅仅只利用了GPS测量中的平面位置信息，而忽视了GPS高程信息的价值。

由高程系统理论可知[1]，大地高是由地面点P沿通过该点的参考椭球面法线，到参考椭球面之间的距离，用HAg表示。

大地高是一个几何量，它不具有物理上的意义。正常高是由地面点P沿垂线方向到似大地水准面C的距离，通常用Hr表示。测站点P的大地高HAg与正常高Hr之间的关系为：

Hr=HAg-ξ（1）

（1）式中的ξ称为高程异常。

由（1）式可以看出，只要能求出GPS点的高程异常ξ，就可以确定GPS点的正常高Hr。如果我们在测区中，用几何水准测量方法较均匀地测定少数GPS点的正常高（以下简称已知点），就可以按（1）式的变形公式ξ=HAg-Hr

反求出已知点的高程异常ξ。然后利用已知点的高程异常ξ，采用数值计算中的拟合方法，拟合出测区的似大地水准面，从而解算出未测正常高的其它GPS点（以下称为插值点）的高程异常ξ，再按（1）式求出插值点的正常高。

显然，用这种拟合方法求出的GPS点正常高与几何水准测定的正常高同属一个系统。国内、外已经有不少GPS用户通过GPS高程拟合的方法求得GPS点的正常高。如武汉测绘科技大学的徐绍铨等老师在厦门做的一个面积约为1500平方公里的GPS网，采用GPS高程拟合方法计算GPS点正常高，只实测（包括联测点）27.5%的GPS网点的几何水准，精度达到±35.1mm，可满足各种大比例尺测图精度要求[2]。

2拟合模型

目前，GPS用户用于GPS高程拟合的拟合模型主要有以下二种，针对不同的测区状况，可以选择其中一种拟合模型，以收到良好的拟合效果。

2.1多项式曲线拟合法。当GPS点按导线型状布设，我们可以根据已知点的平面坐标x、y和高程异常ξ，拟合出测线方向上的似大地水准面曲线，从而通过内插解求出插值点的高程异常。

设ξi和xi（或yi）存在以下函数关系（i=0，1，…，n），可以用以下m（m≤n）次多项式：

ξm（xi）=a0+a1xi+a2xi2+…+amxim（2）

来拟合

应用最小二乘法[3]，使得：n

σ=■Ri2=■[ξi（xi）-ξi]2=min（3）

解出（2）式中的各待定系数ai，即可按（2）式内插出测线方向上任一点的ξ值。

当测线较长，结点的ξ变化较大，结点处曲线不光滑、不连续，就应采用三次样条曲线拟合法[3]。

2.2多项式曲面拟合法。当GPS点布设成网状结构时，就应该应用多项式曲面拟合法去拟合GPS高程[4]。

设测站点的ξi与xi，yi存在以下的数学模型关系：

ξi=f（xi，yi）+εi（4）

式中f（xi，yi）为ξi的趋势值，εi为误差。

对f（xi，yi），我们可以选择三次幂多项式来表达空间曲面：f（xi，yi）=b0+b1xi+b2yi+b3xi2+b4xiyi+b5yi2+b6xi3+b7xi2yi+b8xiyi2+b9yi3（5）

把（5）式代入（4）式，于是有

ξi=b0+b1xi+b2yi+b3xi2+b4xiyi+b5yi2+b6xi3+b7xi2yi+b8xiyi2+b9yi3+εi（6）

式中：

i=1，2，3，……，n。

则（6）的矩阵形式为：

ξ=XB+ε（7）

式中：

?孜=?孜1?孜2…?孜nB=b0b1…bn?着=?着1?着2…?着n

X=1x1y1x12x1y1……y131x2y2x22x2y2……y23………………1xnynxn2xnyn……yn3

对于每一个已知点（xi，yi），都可以组成一个（7）式，在最小二乘法：[ε2]=min的条件下解求出bi，即可求出测区范围内任何插值点的ξ值。

本次拟合的2个实例都是在《PowerADJ3.0V》网平差软件平台上进行的。软件采用多项式曲面拟合和附加地形改正的“移去恢复”方法来求解测区高程异常，然后给出各GPS控制点的海拔高程，并且利用已知GPS水准点，求出内附合精度、外附合精度、协方差阵，并对所确定的模型进行T检验[5]。

3实例

下面以广西第一测绘院GPS工作站与我队协作完成的2个GPS网进行高程拟合分析。

3.1实例概况。两个测区三个GPS网的作业都按照1997年10月1日施行的中华人民共和国行业标准《全球定位系统城市测量技术规范》来进行，同时将视为试验对象的已知点及插值点均用NA2自动安平水准仪进行水准联测，按照GB12898-91《国家三四等水准测量规范》进行。

2005年底，在地处珠江三角洲的顺德市杏坛测区布设了一个5"GPS网，且在5"网基础上加密布设几个8"GPS网。根据试验目的，选择5"网及一个8"网进行拟合分析，其中5"网按四等水准精度要求进行水准联测，8"网按等外水准精度要求进行水准联测。通过计算GPS高程拟合残差值：

V=h水-h拟（8）

按下式：

m=■（9）

计算插值点的拟合残差均方差值（中误差），作为评定GPS高程拟合精度的指标。

3.2拟合精度分析。本方案通过对5"、8"两个GPS网分别选择5～8个结点作为已知点，应用《PowerADJ3.0V》软件，按多项式曲面拟合模型拟合出测区的似大地水准面形状。通过拟合，按照公式（8）计算出插值点正常高与水准高的残差，再按照公式（9）统计出残差中误差m及残差分布趋势。

5"GPS网控制面积约15平方公里。分别选择5、6、7、8个已知水准高程的GPS点作为已知点进行高程拟合，共拟合出97个插值点的拟合高程H拟。按照（8）式可计算出拟合残差V，按照（9）式可计算出拟合残差中误差m和残差分布趋势。

从m5=±0.0147m，m6=±0.0147m，m7=±0.0134m，m8=±0.0134m，可以看出，四个拟合方案的拟合成果都较稳定，且随着拟合的已知点增加，拟合成果的精度进一步提高。同时也看到，当拟合已知点达到一定的密度后，再增加已知点数，精度增益幅度趋缓。从分布趋势可看出，拟合残差V在-3～+3cm间，占总数的96.7%，只有极个别插值点残差>±3cm，不到3.3%。由高程拟合得到的数学模型与似大地水准面模型之间附合得较好，所拟合出来的模型是可靠的，且以7、8个已知点的拟合方案最佳。

顺德市杏坛镇8"GPS网控制面积约为5.5平方公里。由于控制面积较小，高程异常变化缓慢，笔者选择了5、8、9个已知点进行高程拟合，拟合高程H拟与等外水准高程H水，按照（8）式可计算出拟合残差V，按照（9）式可计算出拟合残差中误差m和残差分布趋势。

从中误差统计得到m5=±0.010m，m8=±0.009m，m9=±0.009m，可以看出，三种拟合方案的精度可以认为是相等的，并且|V|<=2cm的插值点占总点数的96.8%。由测量误差理论中真误差与中误差之间的概率关系式[4]：

P（|x-ξ|<2σ）=0.9545

可知，残差分布在测量误差允许的范围内，是可靠的。

4结论与建议

在地势比较平缓、高程异常变化较缓慢的局部GPS网中，采用联测几何水准的方法进行GPS高程拟合，拟合成果完全可以代替等外几何水准测量，且精度随着起算点精度的提高而提高；若已知点布设合理，GPS高程拟合成果的精度还可以达到四等几何水准精度的要求。

参考文献

[1]徐绍铨，吴祖仰.大地测量学[M].武汉：武测科大出版社，1989.

[2]徐绍铨.厦门GPS网正常高的确定[M].武汉：武测科大地测院，1994.

[3]卢传贤.使用计算机图形学[M].成都：西南交大出版社，1996.

[4]李庆海，陶本藻.概率统计原理和在测量中的应用[M].北京：测绘出版社，1984.

[5]宝威ADJ说明书.3.0版本[Z].

[6]4000SSEGEODETICSYSTEMSURVEYOROPERATIONMANUAL.TrimbleNavigation，1992.