函数单调性的教学反思

函数单调性的教学反思

刘冬

刘冬四川省成都市实验外国语学校西区数学组610213

函数单调性是学生进入高中后较早接触到的一个完全形式化的抽象定义，对于仍然处于经验型逻辑思维发展阶段的高一学生来讲，有较大的学习难度。一直以来，这节课也都是老师教学的难点。

关键点1：学生学习函数单调性的认知基础是什么？在这个内容之前，已经教学过一次函数、二次函数、反比例函数等简单函数，函数的变量定义和映射定义，以及函数的表示。对函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念，也已经形成了初步认识。函数单调性教学的引入应该从学生的已有认知出发，建立在学生初中已学的一次函数、二次函数以及反比例函数的基础上，即从学生熟悉的常见函数的图象出发，直观感知函数的单调性，完成对函数单调性定义的第一次认识。

让学生分别作出函数y=2x、y=-2x、y=x2+1的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律。在学生画图的基础上，引导学生观察图象，获得信息：第一个图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大；第二个图象从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小。然后让学生明确，对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数。第三个函数图象的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确了函数的单调性是对定义域内某个区间而言的。

在此基础上，教师引导学生用自己的语言描述增函数的定义：如果函数f（x）在某个区间上的图象从左向右逐渐上升，或者如果函数f（x）在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f（x）在该区间上为增函数。

关键点2：用数学的符号语言定义函数的单调性概念。对于函数单调性概念的教学而言，有一个很重要的问题，即为什么要进一步形式化。学生在初中已经接触过一次函数、反比例函数、二次函数，对函数的增减性已有初步的认识：随x增大y增大是增函数，随x增大y减小是减函数。这个观念对他们而言是易于接受的，很形象，他们会觉得这样的定义很好，为什么还要费神去进行符号化呢？如果教师能通过教学设计，让学生感受到进一步符号化、形式化的必要性，造成认知冲突，则学生研究的兴趣就会大大提高，主动性也会更强。其实，数学概念就是一系列常识不断精微化的结果，之所以要进一步形式化，完全是数学精确性、严密性的要求，因为只有达到这种符号化、形式化的程度，才可以进行准确的计算，进行推理论证。所以，在教学中提出类似如下的问题是非常必要的：

右图是函数y=x+（x>0）的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？

对于这个问题，学生的困难是难以确定分界点的确切位置。通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究,使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性，从而将函数的单调性研究从研究函数图象过渡到研究函数的解析式.

关键点3：一般说，对函数单调性的建构有两个重要过程，一是建构函数单调性的意义，二是通过思维构造把这个意义用数学的形式化语言加以描述。对函数单调性的意义，学生通过对若干函数图象的观察并不难认识，因此，前一过程的建构学习相对比较容易进行。后一过程的进行则有相当的难度，其难就难在用数学的语言来描述函数单调性的定义时，如何才能最大限度地通过学生自己的思维活动来完成。这其中有两个难点：1.“x增大”如何用符号表示，以及“f(x)增大”如何用符号表示。2.“‘随着’x增大，函数f(x)‘也’增大”，如何用符号表示。用数学符号描述这两种数学意义的最大要害之处，在于要用数学的符号来描述动态的数学对象。

在初中数学中，除了学习函数的初级概念，用y=f(x)表示函数y随着自变量x的变化而变化时，接触到很少一点动态数学对象的数学符号表示以外，绝大多数都是用数学符号表示静态的数学对象。因此，从用静态的数学符号描述静态的数学对象，到用静态的符号语言刻画动态数学对象，在思维能力层次上存在重大差异，对刚刚由初中进入高中学习的学生而言，无疑是一个很大的挑战。因此，在教学中可以提出如下问题：如何从解析式的角度说明f（x）=x2在［0，+∞）上为增函数？

这个问题是形成函数单调性概念的关键。在教学中，教师可以组织学生先分组探究，然后全班交流，相互补充，并及时对学生的发言进行反馈、评价，对普遍出现的问题组织学生讨论，在辨析中达成共识。

学生错误的回答主要有两种：①在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12<22,所以f（x）=x2在［0，+∞）上为增函数。②可以用0、1、2、3、4、5验证：1>0，12>02；2>1，22>12；3>2，32>22；4>3，42>32；5>4，52>42。所以函数y=x2在[0，+∞）上是增函数。

对于这两种错误，教师要引导学生进一步展开思考。例如，指出回答②试图用自然数列来验证结论，而且引入了不等式表示不等关系，但是，只是对有限几个自然数验证不行，只有当所有的比较结果都是一样的——自变量大时，函数值也大”，才可以证明它是增函数。那么怎么办？如果有的学生提出引入非负实数a，只要证明（a+1）2>a2就可以了，这就把验证的范围由有限扩大到了无限。教师应适时指出这种验证也有局限性，然后再让学生思考怎样做才能实现“任意性”就有坚实的基础了。也就是，从给定的区间内任意取两个自变量x1、x2，然后求差比较函数值的大小，从而得到正确的回答:

任意取0≤x1<x2,有x12-x22=（x1+x2）（x1-x2）<0,即x12<x22，所以f（x）=x2在[0，+∞）为增函数。这种回答既揭示了单调性的本质，也让学生领悟到两点：（1）两自变量的取值具有任意性；（2）求差比较它们函数值的大小。至此，学生对函数单调性有了理性的认识。在前面研究的基础上，引导学生归纳、抽象出函数单调性的定义，使学生经历了从特殊到一般、从具体到抽象的认知过程。

教学中，教师要引导学生用严格的数学符号语言归纳、抽象增函数的定义，并让学生类比得到减函数的定义；然后指导学生认真阅读教材中有关单调性的概念,对定义中关键的地方进行强调。

通过对判断题的讨论，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性。

②有的函数在整个定义域内单调（如一次函数），有的函数只在定义域内的某些区间单调（如二次函数），有的函数根本没有单调区间（如常函数）。

③函数在定义域内的两个区间A、B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在A∪B上是增（或减）函数。

这样就加深了学生对定义的理解。