数学学习要善思

数学学习要善思

韦俊菊

韦俊菊广西宜州市民族中学546300

善思，善于思考之意，数学学习的过程就是动脑思考的过程，没有这个过程的学习则是空洞的学习。古人常说：“只学不思不得矣，只思不学不得矣。”因此，我们在学习中要善于思考，它不仅有利于提高思维的灵活性、严谨性，还能更好地发挥自己学习的潜力，提高学习效率。善思，首先要学会质疑。所谓质疑就是设置疑难，疑乃学思结合的中介，学则须疑，只有疑才能调动思的积极性。学起于思，思则源于疑。善思，主要体现在数学解题过程这一方面的思考。

伯利亚曾指出，掌握数学就是善于解题。而有些学生在记忆了概念、公式、定理做了大量习题后，只能被动模仿，却始终不能触类旁通，解题能力一直难以提高。究其原因，一个重要方面是这些学生只注重是否能够完整地给出一道数学题的正确答案，并以此作为最终目的，而缺少了对题目更深的探究，阻碍了思维的发展，影响到解题能力的提高。应从多方面、多角度去设置问题，分析思考，大胆尝试，大胆创新，不断步入新的创造领域，让思维兴奋、活跃，思路开阔，更高层次、更富有创造性地去学习、探索、总结，使自己的解题能力更胜一筹。

那么数学解题过程的思考，宜从两方面去训练：

一、解题过程中的前思与后思

前思即是解题前的思考。我们得到一个数学题目时，不宜急于进行常规的运算和推理，盲目追求答案或解题过程，而应分析思考：为什么给出这个已知条件？这个已知条件有什么隐含条件？它与求证有什么关系？已知和求证之间通过什么才能联结起来？……反反复复地问，认认真真地思考，通过问的过程把自己掌握的与问题有关的知识汇集已知条件相互贯通，做到“知己知彼，百战不殆”。

例1：已知动点M到定点F（4，0）的距离比它到直线L：x+5=0的距离少1，求动点M的轨迹方程。

前思：动点M满足的条件很明显，因而不假思索地让人想到要按常规的方法直接套用教材中的步骤解答。期间我们会发现解答过程显得很长，这就促使我们重新审视题目另求蹊径。实际上我们稍加思考就会发现此题与抛物线的定义之间有着巧妙的联系，从而得出简洁解法如下：

解：由已知，点M满足的条件等价于：M到F点的距离等于它到直线x+4=0的距离，所以点M的轨迹是以F（4，0）为焦点，x+4=0为准线的抛物线，方程为：y2=8x。

可见在解题之前由疑而思，多思多想，激活思维的源泉，往往能获得多种不同的解题途径，找到简便的解题方法，提高解题的速度。

后思即解答回顾思考。题前的质疑而思固然重要，它可帮助我们找到解题的思路和妙方，但是题后的反思也是不容忽视的。得到一个数学题，不要认为解出答案就万事大吉，而应在解题结束后深思：此命题的意图是什么？考核我们哪些方面的概念、知识能力？求解论证过程是否判断有据、严密完善？本题有无其他解法？……

通过各种题后的质疑反思，全面审视解题过程，仔细分析命题的可变情况，深入探究知识的网络结构，认真总结解题规律，通过举一反三，做一题会一类，能够达到触类旁通的目的。

二、解题过程中的正思和反思

正思即顺着题目的意识去思考，寻找解答过程；而反思是相对正思而言，是正面思考的拓展。大多数的数学题都是正面入手去分析思考的，这就使我们在数学解题时容易形成一种习惯，导致思维惰性和呆板的一面，什么题都想从正面着手去解答。但有写题目从正面思考去求解容易陷入繁难甚至无法解决的境地，若能及时转变思考方向，从反面着手，也许会思路顿开、妙法横生、奇趣无穷。

例2：已知三个方程x2+4ax-4a+3=0、x2+（a-1）x+a2=0、x2+2ax-2a=0中只有一个实根，求a的范围。

分析：若从已知的方程入手求解，需要讨论：若一个方程有实根，则有C31种可能的情况；若两方程有实根，则有C32种可能；若一个方程有实根，则有C33种可能。总共有C31+C32+C33种可能，实在太难了，又易出现错误，不妨从三个方程都无实根入手，求出a的范围。虽然切入点不是题设，但可轻取。

解：假设题设三个方程都无实根。

则有的取值范围是（略）。

例3：若二次函数f（x）=4x2-（p-2）x-2p2-p+1在区间[-1，1]内至少存在一点C（c，0）使f（c）>0，求实数p的取值范围。

正思：已知f（x）为二次函数，借助f（x）的图像知实数p应满足当-=0即p=2，f（x）=4x2-9。当x∈[-1，1]时，f（x）<0恒成立，不合题意，则-3＜P＜。

反思：从以上正面解题过程知，思路缺少突破，缺少创新。如果变化一个角度，聚焦于反面情况，就会得到快捷的解法。

最后还要注意，善思要防止思维定势。数学问题的特点不是一成不变的，所以拿一种模式、一种方法去解决数学问题是要吃苦头的，死套公式、强行对号的做法会使思维僵化。因此，解题时都要问为什么、还有没有别的路可走，不能听之任之、不假思索、盲目“从众”，而要善思，多方面、全方位地思考，不断训练思考品质，更好地提高思考速度、思维能力、综合解题能力，在学习中将善思的作用发挥到极致。