有关立体几何学习的探讨

有关立体几何学习的探讨

岳太强

岳太强

摘要：“空间几何体”这一章在数学课本中占有重要地位，它承载着学生三大能力的训练以及渗透着重要的数学思想和方法。

关键词：立体几何；图形特征；图形变化

作者简介：岳太强，任教于宁夏六盘山高级中学。

《空间几何体》这一章的教学内容涉及平面的基本性质，空间的点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行和垂直的判定与性质，三类空间角的概念以及空间几何体表面积和体积的计算等。它承载着学生三大能力（空间想象能力、逻辑推理能力、运算论证能力）的训练以及重要数学思想和方法（转化、数形结合、观察、类比、归纳、合情推理等等）的渗透。内容繁多而且对学生的学习能力要求较高，大多数学生在这一章的学习中都遇到困难，甚至产生恐惧心理。作为立体几何离不开图形，能否准确地看图，合理地做图、正确的分析图形是学好该学科的关键，因此从学习之初就必须重视对图形的观察,努力提高驾驭图形能力。

一、突出图形特征，培养学生识图能力w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

1.要看到观察图形的角度：由图形的形状判断图形的摆放角度，水平、竖直还是其它情况。由此才可以想到该直观图的实际形状是什么，这样才有利于我们把握图形的本质。

2.要看懂图形的虚实：图形的虚线是被平面挡住的部分，实际是无法看到的，之所以还画出是由于解题中需要这些虚线,也是为了我们对图形了解得更清楚,为此必须要看懂为什么有的线是实线有的线是虚线。

3.正确分析图形的形状：对直观图边角关系的分析必须要区分于平面图，决不能被图形的表面现象所蒙蔽，很多情况下，直观图中看到的平行四边形还可能是菱形、矩形、正方形。而三角形则更无规律，直观图中的锐角（钝角）三角形可以表示直角、等腰、等边三角形等任意形状的三角形，所以对图形的真实情况我们只是按题意去分析，决不能被表象所误导。

二、突出图形变化、揭示本质属性

作图过程实质上是对观察图形过程的一个再现，但真正画图时还是许多学生不知如何下手,在此笔者强调两点：

1.找准放置图形的角度：直观图具有很大的随意性,只要不偏离题意我们可以画出许多不同的图形，因为其摆放的位置和我们观察的角度有很多，而图形对解题的作用是非常大的，只有图形作的合适，才会对解题起到简化作用，因此必须要学会如何找准做图的角度，通过案例展示合理做图的重要性。

例1：是从点出发的三条射线,每两条射线的夹角为,则直线与平面所成的角的余弦值为_____.

2.倾向于常用几何体做图：在整个立体几何中主要涉及到两种几何体——柱体和椎体，而其中最为典型的是(长)正方体和四面体,这两种几何体涵盖了立体几何中近一半的题目，因此许多问题的做图要倾向于这两种几何体，通过案例进一步体会常用几何体的妙处。

分析：学生有一种思维定势，做图或分析图形总是遵循“自上向下”的原则，这使得许多学生按图（1）形式画图，而所求为与平面所成的角，则需要在面内解决问题，这显然与我们的习惯不符，所以这一做图不利于问题的顺利求解，加大了求解的难度。好的作图方法应将面作为下底面给出，从而对应我们的习惯，能够明显降低问题的难度，见图（2）及下面过程。

解析：如图（2）,只要做出射线在面内的射影，则是直线与平面所成的角，为的角平分线，由三余弦定理可得：

分析：两线段异面,可建构一个四面体,由此使得我们能够在几何体当中分析问题,使解题的思路更加清楚。

解析：如图（3）,连接和四边形的两条对角线,取的中点,连接,因为分别为的中点,所以

在中,,故选C.

点评:案例（1）在告诉我们该如何找准做图的角度，一般我们遵从将更多的条件或所求问题集中于下底面分析求解的方法；案例（2）所给条件是两条异面直线，但我们通过是不共面的四点构造了四面体，再利用其求解，实现了将问题具体化、明朗化并降低难度的目的。为此，在日常学习中我们一定要重视对知识的积累、归纳和反思的过程，努力提高自己利用现有条件做图的能力。

三、强调模型应用

由于立体几何对学生的空间想象力要求较高，所以教给学生几个典型的几何模型对他们的学习和解题很有帮助。所以笔者把这一章给学生归纳出了五个典型的模型。它们是正(长)方体模型、正四面体模型、线面角模型、二面角平面角模型以及探究面面垂直模型。

正（长）方体模型：

这是立体几何中应用最广的一个几何模型。他几乎包括了空间点、线、面的所有位置关系。有这么一种说法：只要“玩转”正方体，立体几何就不怕。也就是说只要把正方体中的点、线、面的位置关系搞清楚，那就可以解决立体几何中的所有问题。

正四面体模型：

这个模型的主要作用是让学生体会空间问题平面化的转化思想和训练学生的计算能力、逻辑推理能力，同时可以帮助学生记住一些涉及到正四面体的结论，避免遇到问题时再推导运算的麻烦。比如求正四面体的体积时高AO的求解就要进入四面体的内部解三角形AOE或三角形AOC（空间问题平面化），还需要求正三角形的高DE、中心O到C点和E点的距离、面积等（这些都是需要记住的结论），而求正四面体的外接球和内切球的体积、表面积等都能用到这些结论。事实上求正四面体外接球和内接球的半径可以很好的训练学生的空间想象能力和计算能力。而且这个模型还是异面直线垂直（如BC与AD垂直的判定）和线面垂直、面面垂直（BC与面AED垂直、面AED与面BCD垂直等等）等内容很好的载体。

线面角模型：

之所以把线面角归结为一个几何模型其原因有三：一是巩固线面角的概念(∠PAO)，便于学生在解题时能准确的做出斜线和平面所成的角（平面的斜线PA和斜线在平面上射影AO所成的角）；二是这个模型其实就是“三垂线定理”模型(只需在平面上添一条直线a)，他是平面的斜线与平面上一条直线垂直的判定与性质内容的载体；三是这个模型承载着线线、线面、面面垂直的所有内容。

二面角平面角模型:

确定这个模型的原因和线面角模型大体一致。需要特别说明的一点是许多学生在二面角的问题中往往容易忽略直线CD与平面ABO垂直这一重要性质，而且这是高考特别钟情的知识点。

探究面面垂直模型:

这是教材中的一道探究题：“如图，已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD，你能发现那些平面互相垂直，为什么？”而这道题的变式题很多（光教材上就不下四处），许多高考题以它为“母题”改变。所以把它作为一个几何模型，既有利于学生掌握面面垂直的内容，更重要的是有意识的引导学生回归课本，真正的感受到高考题源于课本、变于课本，使他们能够更好的立足课本，夯实基础。

参考文献：

[1]赵冬雨.高中数学新课程立体几何教学中的问题与思考[J].东北师范大学,2009.

[2]武楠.影响立体几何学习的几个因素[J].黑龙江教育(中学版),2006(3).

作者单位：宁夏六盘山高级中学

邮政编码：750002

DiscussiononSolidGeometryLearning

YUETaiqiang

Abstract:Thechapter“spacegeometry”takesupanimportantpositioninmathematicstextbooksanditbearsstudents’threeabilitiestrainingandpenetratesimportantmathematicsthoughtsandmethods.

Keywords:solidgeometry;graphicalcharacteristics;graphicalchanges