张俊艺黄淮学院数学科学系463000
摘要本文利用首次积分建立一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系,并对求解常微分方程组的方法进行了分析和讨论.
关键词首次积分一阶线性偏微分方程常微分方程组
1.引言
在常微分方程这门课程中,我们已经了解了常微分方程的基本知识.那么我们就来探讨一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系,然后再分析利用首次积分求解常微分方程组的方法.由常微分方程组的首次积分可以确定常微分方程组的任意一般解,这样的一个结论为我们求解常微分方程组奠定了基础，同时也是我们求解方程组的理论依据.所以，只要求得常微分方程组的彼此独立的首次积分,我们就可以确定常微分方程组的任意一般解.
2.下面就给出关于首次积分的基础理论知识.
定义2.1在域G内连续可微且不恒等于常数的函数,如果其中的变元用方程组的任一解代替时,它就取常数值,则关系式=c称为方程组的首次积分,有时也称为首次积分.这里c是可允许范围内的任意常数.
这里为定义2.2方程组(1)的n个首次积分=c为彼此独立的，如果雅可比行列式
在G内恒为零.
下面我们就建立一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系.
定理2.1=c称为方程组的首次积分的充要条件是在G内成立着恒等式
证明:由微分方程组存在定理知,对于任意一点G,方程组(1)存在唯一解满足初始条件，
若=c称为方程组的首次积分,
则const,
从而.
特别地,当时有
，
再由G的任意性,
得:
.反之,若上面的恒等式在G内成立,自然在方程组的解有意义处也成立.
因此
.即是方程组(1)的首次积分.
定理2.2如果是方程组(1)的n个彼此独立的首次积分,则方程组的任意一般解均可由()式通过选取适当的一组常数来确定.
证明:依定义,
从而可由()式确定出
且存在,连续.
首先,我们证明是方程组(1)的解.
显然
,
因而,.(2)
另一方面,由于是方程组(1)的首次积分,则根据定理2.1当时有
.(3)
用(2)减去(3)可得到:
.
注意到:由上式推得
.
这表明是方程组(1)的解其中是任意常数.
现在设方程组(1)的任意解().
记,由上述知是方程组(1)的解.
注意到
=(),
由解的存在唯一性定理知:
=().
从而,可以由()式确定出.
只需取().
由上面的定理可以看出,求解方程组(1)的问题就可以归结为寻求它的n个彼此独立的首次积分.但是如何求首次积分呢?却没有确定的方法,但下面的事实对我们求解微分方程组(1)却是有益的.
将方程组(1)写成对称形式
,其中.
如果能求得n+1个不同时为零的函数使得
.,
.是某一函数的全微分,
则就是方程组(1)的首次积分.
参考文献
【1】王高雄等.常微分方程(第二版).北京：高等教育出版社.1983.
【2】马知恩等.常微分方程定性与稳定性方法.北京：科学出版社.2001.
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